Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть на тело вращения набегает поступательный поток со скоростью V. (Всегда можно выбрать систему координат так, чтобы вектор V лежал в плоскости х, z.) Задача состоит в интегрировании уравнения Лапласа
Д<р — 0 (7.1)
при условиях на контуре
<?Ф
дп
= 0
(7.2)
и на бесконечности
<?Ф дх
у i!L
у х’ ду
= 0,
дф
дг
(7.3)
Рассматриваемую задачу можно разбить на две задачи: о продольном обтекании тела вращения потоком со скоростью Vz и о поперечном обтекании тела вращения потоком со скоростью Vx на бесконечности. Пусть cpt — решение первой задачи, т. е. Ф1 — решение уравнения Дф1 = 0, удовлетворяющее условиям
дф!
дп
дф.
дх
¦0,
дф! д У
0,
дф,
дг
= V2.
Пусть ф2 — решение второй задачи, т. е. фг — решение уравнения Дф2 = 0, удовлетворяющее. условиям
___п дф2
дп \s ’ дх
= VX,
дфг
ду
__ Q дфг
дг
'• 0.
Образуем фз = Ф1 + фг- Нетрудно видеть, что ф3 удовлетворяет также уравнению Лапласа, а граничные условия имеют вид (7.2), (7.3). Поскольку решение уравнения Лапласа при заданных условиях единственно, отсюда следует, что искомый потенциал скоростей ф равен ф3, т. е. равен сумме потенциалов скоростей продольного и поперечного обтеканий рассматриваемого тела соответственно со скоростями Уг и Vx на бесконечности.
ГЛАВА XV
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ
§ 1. ОБЩИЙ ВИД ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ
Пусть в жидкости движется некоторое твердое тело, ограниченное гладкой поверхностью 5. Отнесем это движение к некоторой неподвижной системе координат x0y0z0 и предположим, что скорость поступательного движения рассматриваемого тела относительно взятой системы отсчета равна и0 (рис. 42). Предположим также, что мгновенная угловая скорость тела относительно выбранного нами в теле полюса О равна о. Тогда скорость произвольной точки N, принадлежащей этому телу в его движении относительно системы x0y0Z0, будет выражаться формулой
и = и0 + (о X г) = и0 + um>
где г — радиус-вектор, проведенный из полюса в точку N. Будем далее считать, что жидкость до того момента времени, когда тело начало в ней двигаться, находилась в покое. Движущееся тело будет возмущать окружающую его жидкость, создавая в ней поле скоростей v(t,X0,y0,z0). Будем предполагать, что скорости возмущенного движения жидкости убывают при удалении от тела и на бесконечности жидкость покоится. Если жидкость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то возмущенное движение жидкости будет также потенциальным. В случае несжимаемой жидкости потенциал этого движения будет удовлетворять уравнению Лапласа
Дф = 0. (1.1)
Вследствие непроницаемости тела на его поверхности в каждой Зточке должно выполняться граничное условие
vn = (*|r)s = (u° + uJ • n> (1-2)
где n — орт нормали.
Для удобства вычислений рационально в дальнейшем воспользоваться подвижной системой координат х, у, г с началом в полюсе О, неизменно связанной с движущимся телом. Если закон движения тела известен, то для каждого заданного момента времени t координаты х0, у0, г0 можно выразить через
S01
координаты х, у, z и представить потенциал q>(t, х0, уо, z0) как функцию х, у, z\
ф(/, х0, г/о, 20) = ф(/, х, у, z). (1.3)
Переход от системы х0, г/о, 20 к системе х, у, z совершается с помощью переноса начала и поворота системы координат. Как известно, при указанных преобразованиях координат уравнение Лапласа сохраняет свой вид, так что
Дф (t, х, у, z) = 0. (1.4)
Условие на бесконечности также сохраняет свой вид, так
как соотношения (я2 -(- у2 + 25) -> °о и (х2 + у2 + г2) -> °о равно-
сильны (в течение любого промежутка времени тело пройдет лишь конечный путь). Условие на теле значительно упростится, поскольку оно будет записано в системе координат, жестко связанной с телом, и будет иметь вид
¦3— — (и0х + Ч-ах) а + (и0у + Ч-ау) Р + (и0z + «сог) Y>
где а = cos (п, *), (5 = cos (п, у), у = cos (п, z),
«шх = <D„Z — <?>zy, иау = (йгХ — (?)XZ, иаг = &ху — фуХ,
т. е.
= и0ха + и0у$ + ийгу + щ (уу — z$) + а>у (га — ху) +
+ ®г(^Р —г/а). (1.5)
Из формулы (1.5) непосредственно можно заключить, что потенциал ф должен линейно зависеть от скоростей, изменяющихся во времени, и будет иметь структуру
