Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. ДИПОЛЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим течение от источника и стока. Пусть источник и сток расположены на расстоянии I друг от друга и имеют обильности, одинаковые по величине и противоположные по знаку. Пусть система координат выбрана так, что они расположены на оси г в точках 1/2 и —1/2. Так как уравнение для ф линейно, то
Ф = Ф1 + Ф2, (2.1)
где ф1 — потенциал течения от источника:
Ф1 = — ~т------ 1 (2.2)
4л хг yi (г — ij2y
фг — потенциал течения от стока:
Ф2 = -т--7==^===-- (2-3)
4л д/д.2 + у2 + (г //2)2
Подставим (2.2), (2.3) в (2.1). Получим
__________________1_______________________1 )
I Vх2 + г/2 + (г - и2)2 V*2 + У2 + (г + и2)2 J ‘
Рассмотрим предельный случай, когда q -> оо, /->0, причем ц1— М = const. В этом случае течение называется течением от пространственного диполя. Разложим выражение в квадратных
189
скобках в ряд Тейлора по степеням I и перейдем к пределу при /-> 0.
В результате получим
Му
Ф = — ^ - гДе M = ql = const. (2.4)
Величина М называется моментом диполя. Нетрудно видеть, что
(2.4) можно записать в виде
Ф
_ ЛГ д /1 N 4л дг \ г ) '
Если ось диполя I не совпадает с координатной осью, то потенциал течения от диполя имеет вид
М д / \\ ф — 4я dl V г ) ’
где
~§f — -?^cos х) + cos У) + TF cos
— производная по направлению оси диполя.
§ 3. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ
Рассмотрим сферу радиуса R, движущуюся со скоростью и вдоль оси г; вектор скорости набегающего потока V направлен по оси z.
Требуется найти потенциал скоростей <р, удовлетворяющий уравнению Лапласа
Аф = 0 (3.1)
и граничным условиям на поверхности сферы
= иа (3.2)
<?<р
~дп
и на бесконечности
дф
дГ
= 0
, ’ ду
= о, Ul =V. (3.3)
> ^ Inrt
Записывая уравнения Лапласа в сферических координатах и учитывая, что течение осесимметрично и ф не зависит от X, получаем для функции ф = ф(г, 0) следующее уравнение:
-jp (г2 sin 0 (sin 0 ^) = °- (3-4)
Граничные условия (3.2), (3.3) можно записать в виде (рис. 39)
4^-1 = «cos0; (3.5)
дп Ir=R
vr Ir^.^ = V cos 0, ое|г^00 = —KsinO, О*. !,_>«, = 0, (3.6)
190
или
dtp
~W
V cos 0,
1 dtp 7 Ж
= — Vsin 0.
(3.7)
Исходя из вида уравнения (3.4) и граничных условий (3.5),
(3.7), решение будем искать в виде
Ф (г, 0) = Q (г) cos 0. (3.8)
Подставляя (3.8) в (3.4), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению Эйлера для функции Q(r)
г2ЛЗ+2г dQ
2Q == 0.
(3.9)
dr2 1 dr
Представив решение в виде Q = гк, получим следующее уравнение для k:
k2 + k - 2 = 0,
корни которого k\ = —2, k2 —
Поэтому
ф
Q — С\г + -jf,
= [Cxr + -^г) cos 0.
(3.10)
Постоянные С\ и С2 определим из граничных условий.
Из (3.10) имеем
¦ 0.
V
Рис. 39.
aeU^-CisinO, OxU№
(3.11)
Сопоставляя (3.11) и (3.6), видим, что С\ = V. На поверхности шара
Сравнивая (3.12) и (3.5), получаем
Таким образом, потенциал скоростей имеет вид ф(г, 0) = (уг + У-~и cos 0. Можно переписать эту формулу в виде
Ф= Vz + j (уУ [V — и)г,
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15) 191
или
R3
Очевидно, что первое слагаемое есть потенциал поступательного потока со скоростью V, а второе — потенциал диполя с моментом М — 2лR3(u— V).
Таким образом, обтекание сферы может быть представлено в виде наложения двух таких течений.
Если сфера неподвижна, то и = 0 и
Ф = У (7 +-1 iL) cos 0. (3 ]6)
Если жидкость на бесконечности покоится, то V — 0 и
ф = — 11 cos 0. (3.17)
Изучим распределение скоростей на поверхности неподвижной сферы (и — 0). Из (3.16) имеем