Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(m + 4PJt/?3)^=F. (4.34)
Таким образом, движение шара происходит так, как оно происходило бы в пустоте при том, что масса шара увеличилась
на величину ря/?3, равную половине массы жидкости, вытесненной шаром.
ГЛАВА XVI
ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Предыдущие главы были посвящены рассмотрению течений идеальной жидкости, для которых существовал потенциал скорости ф. В этом случае v = grad ф, и поскольку для любой функции f имеет место равенство rot grad / = О, поле скоростей было безвихревым: Q = rotv = 0.
В этой главе мы будем рассматривать вихревые движения, т. е. такие движения, у которых вектор вихря во всех точках области или какой-либо ее части не равен нулю: Q ф 0.
При изучении вихревых движений приходится иметь дело с такими понятиями, как циркуляция скорости и поток вектора вихря скорости через поверхность. Из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность S равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность:
^ ?1 • n dS = (^> (v • dr).
s i
Таким образом, циркуляция является одной из важных характеристик вихревых течений.
§ 1. ТЕОРЕМА ТОМСОНА
Прежде чем сформулировать и доказать теорему Томсона, получим один вспомогательный результат кинематического характера. Рассмотрим, как с течением времени изменяется циркуляция скорости Г, вычисляемая по контуру, состоящему все время из одних и тех же частиц жидкости (так называемому «жидкому» контуру). Такой контур перемещается вместе с жидкостью и может деформироваться. Очевидно, что для жидкого контура Г = Г(0.
Рассмотрим незамкнутый жидкий контур АВ в различные моменты времени. Для такого контура
Г (t) = ^ v • dr = ^ vx dx + vy dy + vz dz. (1.1)
Для того чтобы составить представление об изменении Г (^.вычислим производную
dr d гв j .. ..
'ir = lt)Av'dT¦ П-2)
Очевидно, что пределы интегрирования А и В зависят от времени t. Перейдем в интеграле к такой переменной, у которой область интегрирования не зависит от времени. Пусть Л050 — положение кривой АВ в момент времени t = t0. Введем координаты Лагранжа, а именно каждую точку (частицу) М на АВ
215
в момент времени t будем характеризовать моментом времени t и положением М0 частицы на кривой А0В0 в начальный момент времени t0 (рис. 43).
Положение частицы на А0В0 можно задавать длиной дуги s, отсчитываемой от точки А0. Если г — радиус-вектор точки М, то г = r(s, t), а скорость v и ускорение w согласно определению будут равны соответственно
<3г д2г ..
V~ dt ’ w ~ dt2 •
Так как при интегрировании вдоль контура время t фиксировано и dr = Y^ds, то (1.1) можно переписать в виде
г«Н/-!г*- <>'4)
Здесь I — длина дуги А0В0. В интеграле (1.4) пределы интегри-
ат ,
рования постоянны, и при отыскании можно проводить дифференцирование под знаком интеграла:
dr Г ‘ С dv дг . д2г \ . Г1 dr.. Гг dv .
-1Г-)0Ы'^ + у-Ш7) ds=lVf' ~dFds + lv--d7ds-
Вдоль контура ~ds = dt, v • ^j-ds = (-^-) ds = d (-тг).
Переходя к старым переменным, получаем
dr гв . г в {v2 \ гв . tin Л
dr==Lw>dr+L4^J=Lw-dr+T--- (L5)
Если кривая замкнута (А == В), то
dr
dt
§vf-dr. (1.6)
Таким образом, производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому (жидкому) контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру.
Применим полученный нами результат для доказательства так называемой теоремы Томсона: если жидкость идеальна, ба-ротропна и массовые силы имеют потенциал, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру не зависит от времени.
Для идеальной жидкости имеем
w = — j grad р + F. (1.7)
Так как жидкость баротропна (р = р(р)), то существует функция Р(р) такая, что grad р = grad Р. Вследствие того, что
21 в
массовые силы консервативны, F = —grad V. Поэтому, учитывая условия теоремы Томсона, будем иметь
w = — grad (Р + К). (1.8)
Подставив (1.8) в доказанное равенство (1.6), получим
dT
dt
откуда
= -§ grad (Р + V) • * = - § d (Р + V) = 0, (1.9)
Г (0 = const.
Таким образом, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, остается для этого контура постоянной во все время движения.
Замечание. При записи
(1.9) учитывается, что интеграл вычисляется для данного момента времени, поэтому gradf-dr =
= df.
Поскольку из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность 5 равен циркуляции скорости по контуру, ограничи- Рис. 43.
