Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
или согласно (4.13)
<4Л9>
211
Компоненты ?„ определяемые формулами (4.12), теперь можно записать в виде
Если рассматриваемое тело имеет плоскость симметрии, то, принимая эту плоскость за одну из координатных плоскостей, например за плоскость (х,у), можно упростить вычисление функций Bi и Т.
Действительно, в этом случае величины а = cos (п, х) и
P = cos [п, у) будут четными функциями, a v — cos (п, z) — нечетной функцией координаты г. При этом согласно формулам
(1.8) для искомых гармонических функций на поверхности обтекаемого тела будем иметь равенства
где А и А' — симметричные относительно плоскости х, у точки поверхности.
Условиям (4.21) будут удовлетворять гармонические функции фь ф2, фб, четные относительно переменной z, а условиям
(4.22)—функции фз, ф4, ф5, нечетные относительно z. Действительно, если функция ф — четная по г, то — нечетная, a
— четные функции относительно z, и, следовательно, =
~lhc ° "fz" ^ — четная функция по z. Аналогично рас-
сматривается случай функции, нечетной по z.
Покажем, что в этом случае коэффициенты Л,,-* = (I = = 1, 2, 6; k = 3, 4, 5) обращаются в нуль. Используя формулы
(4.13) и вводя обозначения 5Н и 5В для симметричных относительно плоскости х, у частей поверхности, можем написать
Вследствие нечетности подынтегральной функции и симметрии частей поверхности 5Н и 5В будем иметь
(4.20)
(4.21)
(4.22)
А<1з = 0.
Совершенно аналогично получим
(4.24)
^1* — 0, k — 4, 5;
Xik = 0, i — 2,6; k = 3, 4, 5.
(4.25)
212
В случае, если поверхность S имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (например, 5 — поверхность эллипсоида), подобным образом можно показать, что все коэффициенты Xik с разными индексами обращаются в нуль.
В качестве примера рассмотрим обтекание сферы радиуса R, движущейся в жидкости со скоростью v под действием некоторой силы F, приложенной в центре шара.
Воспользуемся полученными ранее результатами. Согласно формуле (3.17) гл. XIV потенциал обтекания шара, движущегося с единичной скоростью вдоль оси г, будет
R3 cos 0 ..
Фз =-----2Т5-’ (4'26)
где г, 0, А, — сферические координаты с началом в центре шара и полярной осью, направленной по оси г. Из (4.26) следуют равенства
^L=^L=cose- Фз1г=Л=—f-cose- (4-2?)
Подставив (4.27) в (4.13), найдем
Лзз== — Р dS = \ S Cos2 6 dS =
S S
л 2я
= ^— ^ ^ cos2 ® s‘n ® d® d^ = уря#3. (4.28)
о о
Точно так же получим
Лц = А22 = -|р я/?3. (4.29)
Последние три равенства (1.8), если перейти в них к сферическим координатам и учесть, что при этом а = sin 0 cos X, |3 = = sin 0 sin X, у = cos 0 (нормаль к поверхности сферы направлена по радиусу), дают
дп
= n
r-R
¦— дп
Зфб
— V,
r-R
~~0’ дп
= 0. r-R
Отсюда непосредственно следуют равенства
Я44 = Я55 = А<66 = О- (4.30)
Зф,
Отметим, что равенство нулю производной и равенство
нулю функции ф; на бесконечности обеспечивают равенство нулю этой функции во всем пространстве.
Далее, в силу симметрии шара можно утверждать, что все hk = 0 при i Ф k.
213
(4.31)
Таким образом, формулы (4.12) примут вид Bi = ^vnR3Ui, i— 1,2,3;
Bt = 0, i = 4, 5, 6.
Согласно обозначениям (4.7) равенства (4.31) эквивалентны двум векторным равенствам
B = -|pjt/?3U, 1 = 0. (4.32)
В соответствии с формулами (3.18) и (3.23) получаем
(4.33)
R = —Ipn/^-gL,
L = 0.
Формулы (4.33) дают главный вектор и главный момент сил, действующих со стороны жидкости на сферу. Из (4.33) непосредственно видно, что в нашем случае силы приводятся к одной равнодействующей, приложенной в центре шара. Равенство нулю главного момента можно было бы предвидеть и с самого начала вследствие симметрии задачи.
Если масса шара равна т и на шар действует сила F, приложенная в его центре, то уравнения движения шара (4.2) можно переписать в виде
d\i . 2 n3 rfu „ тЧГ + ТЖ=Г’ или