Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем примеры псевдотензоров.
1. Векторное произведение векторов а и b меняет знак на обратный при переходе от правой системы к левой (и наоборот), т. е. с = аХЬ — псевдотензор первого ранга (псевдовектор).
2. Угловая скорость вращения твердого тела является псевдовектором.
3. Псевдотензор Леви — Чивита — псевдотензор третьего ранга D = = \\dktm II. антисимметричный по всем парам индексов и удовлетворяющий условию rfi23 = 1 в какой-либо правой системе координат. Все его компоненты, имеющие два одинаковых индекса, равны нулю, и тензор имеет только шесть компонент, у которых все три индекса различны. Составляющие йц11(1фкф1) принимают значение, равное единице, если i, k, I — четная перестановка тройки (1, 2, 3), и равное —1, если i, k, I — перестановка нечетная. Таким образом,
Во всех правых системах координат псевдотензор Леви — Чивита имеет один и тот же вид.
6. Умножение псевдотензоров и тензоров. Произведение псевдотензора на псевдотензор является тензором (так как Д2 = 1). Если А и В — псевдотензоры рангов т и п, то А-В — тензор ранга т + п. Произведение тензора на псевдотензор является псевдотензором. Если А — тензор ранга т, В — псевдотензор ранга п, то А-В — псевдотензор ранга т + п.
Рассмотрим примеры.
1. Возьмем псевдотензор Леви — Чивита D = \\йыт\\ и тензор второго ранга, образованный из векторов а и b (диаду):
Перемножив псевдотензор D на тензор С, получим псевдотензор пятого ранга
Т = || dklmdpbq Ц.
Выполним два раза операцию свертывания по индексам / и р и индексам т и q. При двухкратном свертывании ранг псевдотензора понизится на четыре и получим псевдотензор первого ранга (псевдовектор R).
Положим l = p = i, m = q = j. Тогда
Из выражений для проекций видно, что R = а X Ь, т. е. R — векторное произведение векторов а и Ь.
2. Если псевдотензор Леви — Чивита D умножить на тензор второго
d 123 -----^231 --------- 3 12 — 1. rf|32 = ^2 13 — ^321 — — 1-
с = || Cpq || = || apbq ||.
Используя значения dkij, получаем
R1 = d 123^2^3 4” d 132#3&2 == ^2^3 — #з&2, /?2 #з^1 — ai&3, Rz = #1^2 — Qzb l-
ранга -г— , где т — составляющие вектора а, то получим псевдогензор пя-
I dxk I
dat
24
п и индексам k и т, то получим псевдотензор первого ранга. Это будет rota.
7. Примечание. В теории аффинных ортогональных тензоров использовались прямолинейные ортогональные координаты и их преобразование опять в прямолинейные ортогональные координаты. Эти линейные ортогональные преобразования определялись таблицей направляющих косинусов. Можно рассматривать и неортогональные линейные преобразования.
Пусть преобразование координат определяется формулой
Вообще говоря, матрицы gik и g'lk не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что коитравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины Ai определяют коварнантный вектор, если при переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат.
§ 8. СКОРОСТИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧЕК БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО ОБЪЕМА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Пусть в пространстве, связанном с системой координат х, у, z, движется жидкость. Рассмотрим некоторую малую частицу жидкости с объемом т в момент времени t. Выберем в этом объеме некоторую точку А и примем ее за полюс (рис. 1). Обозначим ее радиус-вектор через г0. Выберем в этом же объеме другую точку В и обозначим ее радиус-вектор через г. Относительный радиус-вектор АВ обозначим через р, его проекции —
Тогда для инвариантной функции ср(г) получим
25
через 1"|, ?. Если координаты точки А обозначить через х, у, г, то координаты точки В будут л: + ?, у + tj, г +
Рассмотрим ту же массу жидкости в момент 14- dt. Точки А и В займут новое положение А' и В'. Радиус-векторы, соответствующие новому положению точек, обозначим через г', г', р'.
Очевидно, что
p = r —г р' = г'— г' (8.1)
Вектор dp = р'— р с проекциями dl, dr\, dt, характеризует изменение относительного положения точки В по отношению к точке А за время dt. С учетом (8.1)