Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
dx ____________ dy ___________ dz
fljj ?2 у
§ 13. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ
J A J А
Направление обхода должно быть указано.
2 Зак, 1031
33
Теорема Стокса устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутой кривой и интегралом по поверхности, ограниченной этой кривой. Применяя теорему Стокса к циркуляции Г, получаем
v • dr = ^ (rot v • n) dS = ^ Q„ dS.
I s s
Интеграл ^ (Я • n) dS — ^ Q„ dS называют потоком вихря
S ,S
через поверхность S.
§ 14. СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим в момент t некоторую массу жидкости в объеме т, ограниченном поверхностью S. В момент t + At та
же масса жидкости будет занимать объем х', ограниченный поверхностью 5'. Скоростью объемного расширения жидкости в данной точке называется предел
Vji АЬ
I — lim ¦
Рис. 4.
Величина
т->о
дг-*о
т Д/
(14.1)
есть относительное при-
ращение объема в единицу времени. Вычислим величину /, определяемую формулой (14.1). Имеем
T'-T==SSSdx~SSSdT==SSSdT- (R2)
Так как At мало, то объем т'— т представляет собой тонкий слой между поверхностями S и S'. Тогда элемент объема dx можно взять в виде (рис. 4)
dx = ds An = dS • vn • At,
(14.3)
где An — расстояние по нормали между поверхностью S и поверхностью S', в которую перешли точки поверхности S за время At; vn — проекция скорости точек поверхности S на внешнюю нормаль к ней. Теперь х' — т можем записать в виде
Х'—Х
х' — х — At ^ vn dS и
И"-
dS
I — lim
т-*о
(14.4)
34
Разделим обе части на At и устремим М к нулю. При этом А'
перейдет в Л, и мы получим
Av»ds- (15-5)
т S
Как обычно, преобразуем интеграл по поверхности к интегралу по объему:
^ ^ Avn dS = ^ A [vx cos (п, х) + vy cos (п, у) + vz cos (п, г)] dS —
=И 5 Ыг {Av*]+w{Av^+-k d%¦
X
Таким образом, для производной получим выражение
чг=чг\\\Айх =
X
- S И [4f+-к +w {М‘)+?¦ (/1”J]л- (156)
т
Подынтегральное выражение можно преобразовать к другому виду, раскрывая производные от произведений:
4г + Ж (AVx) + W+ 17 (Лиг) =
дА . дА . дА . дА .
:=W + Vx'd7 + Vy~di + +
(dvx dvu dvz \ dA
-эГ + ИГ+-ёГ)=11Г + А^*-Соответственно равенство (15.6) примет вид
(15-7)
d
dt
2. Вычисление в переменных Лагранжа.
Рассмотрим объем т выделенной массы жидкости в момент /. Координаты частиц этого объема можно записать в виде
х = х(а, Ь, с, t), у = у(а, b, с, t), z = г (а, Ь, с, t),
где а, Ь, с — координаты этих частиц в момент времени t0, когда декартовы координаты совпадали с координатами Лагранжа х — а, у = Ъ, z = с, а объем т занимал объем то-В интеграле (15.1), который нужно дифференцировать, перейдем от переменных х, у, z к переменным Лагранжа. Тогда
/ Г f f л D (х, у, z) /тс о\
в различных точках. Интеграл есть функция времени / = /(/). Нас будет интересовать величина
-3Т = 4г\\\лл'- <15-2>
т
Получим выражение для производной ¦— в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.
1. Вычисление —¦ в переменных Эйлера. Рассмотрим два близких момента времени t и t' = t -f At. Для момента времени t сохраним введенные обозначения: А(х,у,
z,t)=A, I(t) — I. Значения всех функций в момент t'=
= t -f Д^ будем отмечать штрихами. Таким образом,
/=^лл,
т х'
При малых At можем записать
/'=^J + (15.3)
т х'—х
д/ = /'-/=^ (А'- A) dx + \\\A' dx.
х х'—х
Подынтегральная функция А' — А вычисляется в точках, принадлежащих объему т, но А вычисляется в момент t, а А' — в момент f — t + At. С точностью до малых более высокого порядка
A'-A = ^j-At+ ...