Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
d\ д\ . д\ . dv . dv ,,
w = -dT = -ar + v* -d7 + vy-di + v*TI- <5Л)
В проекциях на оси
dvx _ dvx , „ dvx , dvx , __ dvx
Wx =~1Г Vx~dT^~ Vu~diT^~ Vz~dz~'
dvu dv„ dv„ dvu dv„
Wy ~ ~dT~~dt~^~ V* ~dx~ VV ~дй~ Vz~dz~' <5Л')
dt dt дх V dy 2 dz
dvz dvz , dvz , dvz , dvz
Ш2 = ЧГ==^Г+1)хЧГ + 1’у-ТГ+1’гЧГ-
Если задача решается в переменных Лагранжа, то
х = х {а, Ь, с, t), у = у(а, Ь, с, t), z = z{a,b,c,t) (5.2)
— искомые функции. Если они найдены, то скорость и ускорение легко вычислить. Согласно определению (см. (3.7))
Соответственно
dv ___ дгг
^~дГ~ W’
dVy д2у
~dt~~~dtr ’
§ 6. ТРАЕКТОРИИ, ЛИНИИ ТОКА, КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
Траекторией частицы (точки сплошной среды) называется геометрическое место точек пространства, через которые движущаяся частица последовательно проходит во времени.
Если движение задано в переменных Лагранжа, то известны функции
х — х (а, Ь, с, t), у = у (а, Ь, с, t), z = z(a, b, с, t). (6.1)
Уравнения (6.1) есть параметрические уравнения траектории той жидкой частицы, положение которой в момент t — t0 определялось параметрами а, Ь, с.
Если задача решена- в переменных Эйлера, то известны vx(x, у, z, t), vy(x, у, z, t), vz(x,y,z,t). Если х, у, z — координаты точки на траектории, то
Уравнение траектории следует искать как решение системы дифференциальных уравнений (6.2). Чтобы найти траекторию частицы, которая при t — t0 имела бы координаты
надо решить задачу Коши для системы (6,2) с начальными данными (6.3).
Линией тока называется линия, которая для данного момента времени t обладает следующим свойством: вектор скорости V, вычисленный в любой точке этой линии, направлен по касательной к ней. Фиксируем момент времени t. Пусть dr — бесконечно малый элемент линии тока с проекциями dx, dy, dz, а v(x,y,z,t)—вектор скорости. Тогда по определению вектор dr коллинеарен вектору V. Условие коллинеарности dr и v в проекциях записывается в виде
Система (6.4) — система дифференциальных уравнений линий тока; время t здесь является фиксированным параметром. Обозначая общее значение величины дробей через ds
X 1/л = *0, У |/о = У о, Z |/л = Zq,
(6.3)
15
(s — вспомогательная переменная), перепишем систему уравнений (6.4) в виде
dx du dz гч
ds ~ V*’ ds ~ V»’ ds ~~ °z1
Здесь s — независимая переменная, t — параметр.
В переменных Эйлера скорости vx, vy, vz — известные функции х, у, z, t. Чтобы найти линию тока, которая проходит через точку *о, у0, zo, надо решить задачу Коши для системы (6.5) с начальными данными
*Ufl = *o, у\,ши=*уь z\s_sa = z0. (6.6)
В переменных Лагранжа а, Ь, с, t функции (6.1) известны
Скорости vx, vy, vz находятся согласно (5.3). Различным точкам линии тока, положение которых определяется параметром s, соответствуют различные значения а, Ь, с (различные частицы). Координаты точек х, у, z линии тока оказываются сложными функциями s. Находя выражения для при
фиксированном / и приравнивая их, согласно (6.5), выражениям для скоростей, получаем систему уравнений
дх da . дх db . дх dc дх
да ds db ds ' дс ds dt '
ду da , ду db . ду dc __ ду
да ds db d? дс ds ~~ dt ’
dz da . dz db . dz dc _ dz
da ds db ds dc ds dt
Система (6.7) может быть разрешена относительно производных в силу условия (2.4). Решая задачу Коши,
находим функции
a = a(s), b = b(s), c — c(s). (6.8)
Подставляя (6.8) в (6.1), получаем параметрические уравнения линий тока в зависимости от s при фиксированном значении t.
Для установившихся течений скорости не зависят от времени, время t не будет входить явно в правые части уравнений (6.2) для траекторий и уравнений (6.5) для линий тока. А тогда обе сиотемы уравнений совпадают. Так как траектории и линии тока находятся в результате решения одной и той же задачи Коши, то в установившихся течениях они совпадают. Вспомогательный параметр s. который мы ввели, в этом случае имеет смысл времени движения t.
Для неустановившихея движений в общем случае линии тока и траектории не совпадают.
Поверхность тока — поверхность для фиксированного момента времени, в каждой точке которой вектор скорости лежит в касательной плоскости. Пусть п — единичный вектор нормали
16
к поверхности, v — вектор скорости. Тогда по определению vn = 0, или
vx cos (п, х) + vy cos (п, у) + vz cos (п, г) = 0. (6.9)
