Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
р = р (а, Ь, с, t),
v = v (а, Ь, с, t), (1.2)
Т — Т{а, Ь, с, t).
9
Переменные а, b, с, t носят название переменных Лагранжа. Равенства (1.1) и (1.2) при фиксированных а, b, с дают координаты и гидродинамические характеристики частицы, начальное положение которой определяется координатами а, Ь, с. При фиксированном t равенства (1.1) и (1.2) дают координаты и гидродинамические величины различных частиц в зависимости от значений их начальных параметров а, Ь, с.
Точка зрения Эйлера. В пространстве выбирают некоторую точку А, декартовы координаты которой х, у, z. В разные моменты времени через эту точку А будут проходить различные частицы жидкости, имея свои значения гидродинамических величин. Представляет интерес изменение искомых гидродинамических величин в фиксированной точке пространства в зависимости от времени. Движение, с точки зрения Эйлера, считается известным, если известны функции
Р = Р (х, У, z, t),
v == v (х, у, z, t), (1.3)
Т = Т(х, у, z, ().
Равенства (1.3) дают гидродинамические величины жидкой частицы, которая в момент времени t находится в точке с координатами х, у, z. Переменные х, у, z, t носят название переменных
Эйлера.
Замечание. При рассмотрении переменных Лагранжа и переменных Эйлера мы использовали декартову систему координат. Можно вместо декартовых координат а, Ь, с и х, у, z использовать любые другие координаты.
§ 2. ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА К ПЕРЕМЕННЫМ ЭЙЛЕРА И ОБРАТНО
1. Пусть задача математического описания движения жидкости решена в переменных Лагранжа и требуется записать решение в переменных Эйлера. В переменных Лагранжа решение имеет вид
х = х(а, Ь, с, t), у = у(а, Ь, с, t), z = z{a, b, с, t); (2.1)
vx = vx(a, b, c, t), vy = vy (a, b, c, t), v2 = v2(a, b, c, /); (2.2)
p = p (a, b, c, t), T — T (a, b, c, t). (2.3)
Так как между координатами х, у, z и а, Ь, с имеет место взаимно-однозначное соответствие, то якобиан
А= Ф<>- (2-4) При t — t0 а = х, b = у, с — z и якобиан равен единице. Систему (2.1) можно разрешить относительно а, Ь, с и найти
а = а(х, у, z, t), b = b(x, у, z, (), с = с(х, у, z, t). (2.5)
Ю
Подставив (2.5) в (2.2) и (2.3), получим решение задачи, записанное в переменных Эйлера:
ох = Vx (х, у, г, t), vy = vy(x, у, z, t), vz = vz(x, у, z, t); (2.6)
P = P (*. У, z, t), T = T (x, y, z, t). (2.7)
2. Пусть задача решена в переменных Эйлера. Это значит, что гидродинамические величины известны в виде (2.6) и (2.7). Чтобы осуществить переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, надо прежде всего найти формулы вида (2.1), связывающие координаты х, у, z с переменными а, Ь, с, t. В формулах (2.1) величины а, Ь, с играют роль начальных координат, постоянных для каждой частицы, а время t — независимая переменная. Поэтому, рассматривая координаты частицы как функции времени, можем написать
dx dy dz /п Q\
ЧГ = и*’ 4T = V«' -dt==v* (2-8)
Но vx, vy, vz известны в виде (2.6). Подставив (2.6) в правые части (2.8), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для отыскания искомой зависимости вида (2.1)
^f=vx (х, у, z, 0, ~jj- — vy (х, у, z, t), ^ = vz(x, у, z, t). (2.9)
Проинтегрировав систему (2.9), найдем х, у, z как функции t:
х = х(С1, С2, С3, t), у = у{С\, С2, С3) t), z — z(Cy С2, Сз, t).
(2.10)
Здесь Сь С2, С3 — произвольные постоянные. По определению при t — t0 х = а, у — b, z — с. Подставляя эти значения в
(2.10) и решая полученные равенства относительно Сь С2, С3, находим Сь С2, С3 как функции а, Ь, с. Подставляя С, (а, Ь, с, t0) в (2.10) и опуская при написании аргумент t0, так как он один и тот же для всей задачи, получаем искомые формулы (2.1). Если теперь формулы (2.1) подставить в известные выражения для гидродинамических величин (2.6) п (2.7), то получим эти величины в переменных Лагранжа.
Замечание. Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа более сложен, так как он связан с необходимостью интегрировать систему дифференциальных уравнений.
§ 3. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ И МЕСТНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ
Индивидуальная производная. Пусть А — некоторая гидродинамическая величина (векторная или скалярная). Для выделенной жидкой частицы эта величина будет зависеть только от времени: А = A(t). Изменение величины А в предположении, что эта величина относится к фиксированной частице, характеризуется производной от А по времени, которая
11
называется индивидуальной производной. Обозначим эту производную АИ. Рассмотрим, как вычисляется Ли в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.
