Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
обратятся в нуль все величины в тензоре Кристоффеля. Можно также
доказать, что равенство кулю тензора Римана - Кристоффеля есть
достаточное условие для возможности выбора координат, в которых все
компоненты g,iv постоянны (впервые было показано Лнпшптцем [57]).
Тензорное уравнение (76.2) выражает, таким образом, условия, необходимые
для применимости специальной теории относительности и для отсутствия
постоянных гравитационных полей, которые не могут быть исключены путем
специального выбора системы координат. В действительности найдено, что
плотность материи во Вселенной приближенно однородна (для расстояний *3
Р. Толмен
194
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
по крайней мере 108 световых лет), насколько это удалось установить в
100-дюймовый телескоп обсерватории Маунт Вильсон *).
Таким образом, нет никаких оснований считать, что имеется какая-либо
область во Вселенной, в которой можно было бы преобразованием координат
полностью избавиться от действия гравитационного поля. В самом деле, даже
присутствие физической измерительной аппаратуры создает неисчезающее
гравитационное поле. Другими словами, то, что мы называли до сих пор
свободным пространством, в котором должна строго выполняться специальная
теория относительности, в действительности в реальной Вселенной не
существует и является лишь идеализацией. Тем не менее ясно, что законы
специальной теории относительности приближенно верны в постоянном
гравитационном поле на поверхности Земли и выполняются с очень высокой
степенью точности в межгалактическом пространстве. Поэтому нам кажется
вполне оправданным использование специальной теории относительности как
абстрактной идеализации.
§ 77. Гравитационные поля в пустоте. Свернутый тензор Римана -
Кристоффеля
Поскольку условие равенства нулю тензора Римана-Кристоффеля исключает
присутствие постоянных гравитационных полей, мы должны, очевидно,
изыскать более слабые ограничения на гравитационное поле в пустом
пространстве в соседстве с гравитирующими телами.
Можно получить это условие, свернув тензор Римана - Кристоффеля, полагая
о=т в (76.1) и суммируя по т. Это дает нам тензор
R\iv = Гд01 av ГцУГа0 + --f Гца --- 1 (77.1)
дх дх
который с помощью уравнения (37) из Приложения III, перестановки
слагаемых и порядка суммирования по немым индек-
сам может быть записан проще:
*>' = " г" + г!"г?в + ln - ГЬ 1"
(77.2)
В качестве полевых уравнений в пустом пространстве, но вблизи от
гравитирующих масс, Эйнштейн предложил соотношение
*"v=0. (77.3)
*) Расширение возможностей наблюдений не опровергает эту гипотезу и для
расстояний до 1010 световых лет. (Прим. ред.)
§ 78. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ МАТЕРИИ
195
Оно, очевидно, справедливо, если удовлетворяется условие "плоского"
пространства - времени (76.2), но может выполняться и при менее строгих
ограничениях.
Теоретическая оправданность выбора этого уравнения станет ясной из
следующего параграфа, где мы получим его как предельный случай более
общего выражения - уравнения для гравитационного поля при наличии
материи; мы имеем также точное эмпирическое подтверждение справедливости
уравнения
(77.3) -данные по движению планет (см. § 83).
§ 78. Гравитационные поля при наличии материи и энергии
Займемся теперь разрешением фундаментальной проблемы, поставленной в §
75, а именно, получим ковариантное соотношение, связывающее
гравитационные потенциалы g^-v и компоненты тензора энергии - импульса
Т^. Такое соотношение можно расценивать как соответствующий
релятивистский аналог уравнения Пуассона
?+$-!-? """'Р. <78"
которое связывает в ньютоновской теории тяготения единственный
гравитационный потенциал ф с плотностью материи р и гравитационной
постоянной k.
При решении этой фундаментальной проблемы у Эйнштейна имелось несколько
наводящих соображений. Во-первых, согласно предварительной постановке
проблемы (§ 75) можно ожидать, что релятивистский аналог уравнения
Пуассона будет соотношением, связывающим все десять гравитационных
потенциалов gцУ с распределением материи и энергии, которое описывается
десятью компонентами тензора энергии - импульса 7\iv. Во-вторых, в
соответствии с принципом ковариантности желательно выразить это
соотношение в ковариантной форме, т. е. надо будет построить такой тензор
второго ранга из gи его производных по координатам, что его можно будет
затем приравнять тензору энергии - импульса. В-третьих, поскольку в
уравнении Пуассона нет производных от ньютоновского потенциала выше
второй, естественно предположить, что (хотя бы в первом приближении)
искомый тензор также не будет содержать производных от gilv выше второй.
И наконец, из принципа эквивалентности следует, что тензор энергии -
импульса является величиной, дивергенция которой может быть сведена к
нулю в любой заданной точке путем выбора естественной системы координат,
так как в специальной теории относительности в галилеевых координатах 13*
196
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
