Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
и энергии. Принцип Маха
В дополнение к принципам ковариантности и эквивалентности мы должны,
очевидно, ввести в теорию гравитации некоторые дополнительные элементы. В
самом деле, с помощью уже введенных двух принципов мы научились
интерпретировать фундаментальный тензор g'nv в метрическом смысле - им
определяется геометрия пространства - времени - и в его гравитационном
аспекте- им определяется движение частиц и световых лучей. Однако мы не
касались пока действительной зависимости величин gnv от координат, если
не считать весьма общего утверждения, что пространство- время является
"плоским" в отсутствие внутреннего гравитационного воздействия и "кривым"
при наличии постоянных гравитационных полей. Следовательно, мы должны
теперь ввести третий принцип релятивистской теории гравитации, а именно:
точную формулировку закона, отражающего зависимость метрического и
гравитационного полей от состояния
192
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
пространства - времени, знание которой позволит вычислять гравитационные
эффекты при заданных распределениях материи и энергии.
Согласно ньютоновской теории тяготения действие гравитации в какой-либо
точке пространства в данный момент определяется расположением окружающей
материи, и эта общая идея, соответствующим образом модифицированная,
должна 'быть включена в релятивистскую теорию гравитации, поскольку
ньютоновская теория в любом случае оказывается чрезвычайно точным первым
приближением. В теории Ньютона зависимость гравитационного потенциала ф
от распределения плотности вещества р дается уравнением Пуассона:
<32ф . <32ф . 32ф , , ,_г 1Ч
¦^2 + Оф + gp- 4л&р, (7о.1)
где k - гравитационная постоянная. В релятивистской теории
гравитации его следует модифицировать: во-первых, из-за необходимости
вычислять десять компонент метрического тензора
(или гравитационных потенциалов) g^v вместо единственного гравитационного
потенциала ф в ньютоновской теории; во-вторых, специальная теория
относительности дает нам соотношение между массой, энергией и импульсом,
показывающее, что ковариант-ные выражения должны определяться всеми
десятью компонентами тензора энергии - импульса Т^, а не какой-нибудь
единственной выделенной величиной, которую можно назвать плотностью
материи.
Наша главная цель, следовательно, состоит в том, чтобы получить аналог
уравнения Пуассона - ковариантное уравнение, связывающее и T^v и
приводящее в первом приближении к результатам ньютоновской теории.
Однако, прежде чем приступить к полному разрешению этой задачи,
целесообразно рассмотреть два специальных случая: случай, когда поля
соответствуют специальной теории относительности, и случай полей в
пустоте вблизи гравитирующих тел.
Общая гипотеза, что метрическое поле определяется распределением материн
и энергии, может быть названа принципом Маха *).
*) Принципом Маха эту гипотезу назвал Эйнштейн [55], поскольку считал ее
обобщением взглядов Маха, который полагал, что инерция должна быть
следствием взаимодействия тел. В то время Эйнштейн думал, что принцип
Маха необходим для введения Л-члена в уравнения поля. Впоследствии,
однако, выяснилось, что без этого члена можно обойтись.
Взгляды Маха, по-видимому, не выдержали экспериментальных проверок.
Сейчас нет ни малейших указаний на какую-либо связь между распределением
масс во Вселенной и массой какого-либо тела или частицы. (Прим. ред.)
§ 76. ТЕНЗОР РИМАНА - КРИСТОФФЕЛЯ
193
§ 76. Поля, соответствующие специальной теории относительности. Тензор
Римана - Кристоффеля
Специальную теорию относительности можно рассматривать как теорию,
развитую в предположении о "плоском" пространстве- времени и в
пренебрежении внутренними гравитационными полями; ее выводы,
следовательно, будут приближенно справедливыми для так называемого
свободного пространства на больших расстояниях от гравитирующих тел.
Обратимся теперь к ковариантным условиям, приводящим к "плоскому"
пространству - времени специальной теории относительности.
Начнем с того, что введем тензор Римана - Кристоффеля с помощью символов
Кристоффеля первого рода
Rlva == r"0r*v - Г2Л -!- Via - JL F*v. (76.1)
В тензорном характере этого выражения легко убедиться. Далее, из
определения символов Кристоффеля первого рода
(73.14) видно, что RX]iva составлен лишь из компонент метрического
тензора и его первых и вторых производных по координатам. Более того,
можно показать, что все тензоры, которые можно построить из
фундаментального тензора guv без обращения к производным выше второго
порядка, являются функциями ё'цу И Riivo-
Условие того, что пространство - "плоское", может быть получено
приравниванием нулю тензора Римана - Кристоффеля. что приводит нас к
ковариантному уравнению
Rlva - о. (76.2)
Это уравнение, очевидно, является необходимым условием, так как мы знаем,
что в случае "плоского" пространства - времени всегда можно выбрать
координаты, в которых компоненты gllv будут постоянными; следовательно,
