Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
линейных алгебраических уравнения
-со2Л4 + 2nwN + р2М - q;
-со2М - 2псоЛ4 + p*N = 0.
Откуда находим
_Я (Р2 - си2) . q(2na)
М
(в)
(р2-со2)2 + 4я2ш2 ' " (р2 - со3)2 + 4л2со2
Подставляя эти выражения для постоянных в представление
(1.43), получим частное решение уравнения (1.42).
Общее решение уравнения (1.42) равно сумме частного решения
(1.43) и общего решения (1.34), найденного в п. 1.8. Таким образом,
рассматривая только случай докритического демпфирования, получим
х = e~nt (С; cos pj -f С3 sin pnt) + M cos со/ -f N sin со/. (1-44)
73
Первые два слагаемых в выражении (1.44) описывают демпфированные
свободные колебания, тогда как два последних - демпфированные вынужденные
колебания. Свободные колебания, как уже говорилось в предыдущем
параграфе, имеют период тд = 2л/рл, а вынужденные колебания - период Т =
2я/со, который совпадает с периодом возмущающей силы, вызывающей эти
колебания. Видно, что благодаря присутствию множителя е~п' свободные
колебания постепенно уменьшаются и остаются только установившиеся
вынужденные колебания, описываемые двумя последними слагаемыми. Эти
вынужденные колебания поддерживаются бесконечно долго благодаря действию
возмущающей силы и поэтому имеют большое практическое значение. Выше в п.
1.6 уже обсуждались такие вынужденные колебания без демпфирования, но
здесь рассмотрим то, как на них влияет демпфирование.
Выражение (1.43) для установившегося поведения системы может быть
записано в следующей эквивалентной форме с фазовым углом:
х = A cos (со/ - 0), (1-45)
где
А = V М2 + N2 = - А-=_ q = - ¦ ¦: qJp2 ¦ ¦; (г)
V(Р1 ~ w2)3 + 4/г2оз3 V(1 - со3/р2)2 + 4/г3со3/р3 '
0 = arctg (4-) = arctg = arctg (д)
Таким образом, видим, что установившиеся вынужденные колебания
с вязким демпфированием представляют собой простое гармоническое движение
с постоянной амплитудой А, определяемой выражением (г), фазовым углом 0,
определяемым выражением (д), и периодом Т = 2я/<в.
Используя обозначения р2 и q из (б) и вводя обозначение у для
коэффициента демпфирования
у = п/р = с/скр, (е)
можно подставить выражение (г) в представление (1.45) и
получить
х = (Q/k) р cos (со/ - 0), (1-46)
где коэффициент усиления
р = 1 /1/ (1 - со2//?2)2 + (2у<0Ipf. (1.47)
Кроме того, выражение (д) для фазового угла можно представить в следующем
виде:
6 = arctg -flV^ • (1.48)
Из представления (1.46) видно, что амплитуду установившегося вынужденного
колебания можно определить, умножив величину перемещения при статическом
нагружении
*ст = Q/k (ж)
на коэффициент усиления р. Этот коэффициент зависит не только от
отношения частот со 1р, но и от коэффициента демпфирования у.
74
0,5
1,0
Рис. 1.33
1,5
(i>lp
На рис. 1.33 показано изменение коэффициента усиления (3 в зависимости от
отношения частот а>/р для различных значений коэффициента демпфирования.
Из этих кривых видно, что когда навязанная угловая частота со мала по
сравнению с собственной угловой частотой р, коэффициент усиления |3
незначительно отличается от единицы. Таким образом, при колебании
перемещение х подвешенной сосредоточенной массы приблизительно совпадает
с перемещением, обусловленным действием возмущающей силы Q cos Ы.
Когда частота со велика по сравнению с частотой р, т. е. когда навязанная
частота намного меньше, чем собственная частота, величина коэффициента
усиления близка к нулю независимо от степени демпфирования. Это означает,
что высокочастотная возмущающая сила практически не вызывает вынужденных
колебаний системы с низким значением собственной частоты. Как видно, в
обоих крайних случаях (о) р и со р) демпфирование оказывает лишь
второстепенное влияние на величину коэффициента усиления Р. Таким
образом, в обоих указанных случаях вынужденных колебаний вполне допустимо
полностью пренебречь влиянием демпфирования и использовать решения,
полученные в п. 1.6.
Когда частота со становится близкой частоте р, т. е. отношение со//?
близко к единице, коэффициент усиления резко увеличивается и его величина
при резонансе или в околорезонансной области становится очень
чувствительной к изменению коэффициента демпфирования. Следует также
отметить, что коэффициент р имеет максимальную величину при значениях
отношения со//?, несколько меньших единицы. Положив производную функции р
по со//? равной нулю, найдем, что максимум имеет место при
(О
~Р
V 1 - 2 f
(з)
При малых значениях коэффициента демпфирования максимальное значение
коэффициента р возникает в точке, лежащей очень близко к резонансу,
поэтому представляется вполне допустимым взять в качестве максимального
значение коэффициента р и его значение при резонансе. Тогда из выражений
(1.46), (б) и (е) получаем приближенное значение максимальной амплитуды
(и)
г/.л ' '
_0_о __0___!_
¦ и грез ь 9"
k 2у ffim 2 п/р
75
Рис. 1.34
Из сказанного следует, что хотя демпфирование имеет очень незначительное
влияние на резонансное поведение системы в областях, достаточно удаленных
от резонанса, оно приобретает особенно важное значение вблизи резонансной
