Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
получим
^ = ^ = Sk- С'52*
С использованием полученного выражения для у;лчв амплитуда установившихся
вынужденных колебаний с эквивалентным вязким демпфированием
А= ¦ - Q/k -=^. (о)
V А- со 2/р2)2 + [4 FKnAkW
Решая это уравнение относительно А, находим
Q V1 - (4F/jtQ)2 ^
- k 1 - со 2,'р2
Первый сомножитель в правой части этого выражения определяет перемещение
при статическом приложении нагрузки, второй является коэффициентом
усиления. Видно, что этот коэффициент является действительным числом
только при
FIQ < я/4. (п)
В практических приложениях, когда, как правило, имеют место небольшие
силы трения, данное условие выполняется. Однако, кроме этого, следует
отметить, что в тех случаях, когда условие (п) выполняется, коэффициент
усиления становится бесконечно большим при резонансе (to = р). Это
обстоятельство можно объяснить, сравнив
* Den Hartog J. P. Forced vibrations with Coulomb and viscous damping. -1
Trans. ASME, 1931, v. 53, p. 107.
83
рассеиваемую энергию UTp с работой Uq, совершаемой возмущающей силой при
резонансе. Решив неравенство (п) относительно силы F и подставив
результат в выражение (н), получим
UF < nQA. (р)
Но из неравенства (п) следует, что работа UQ при резонансе равна nQA,
отсюда неравенство
Up < Uq. (с)
Таким образом, величина рассеиваемой за один цикл энергии меньше энергии,
подводимой извне. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 1.36, где
штриховая линия, описываемая уравнением (н), имеет меньший угол наклона,
чем сплошная линия, соответствующая выражению (в), если выполняется
условие (п).
В качестве третьего примера, иллюстрирующего концепцию эквивалентного
вязкого демпфирования, возьмем случай колебания тела, погруженного в
среду с малой вязкостью типа воздуха. Если масса тела мала, а объем
велик, демпфирующее влияние сопротивления среды может оказаться
значительным. На рис. 1.39 представлена легкая полая сфера, совершающая
вынужденные колебания в воздухе, где силу сопротивления среды можно
приближенно представить в следующем виде *:
P = -^-px2CDAp. (т)
В выражении (т) через р обозначена удельная плотность среды;
CD - коэффициент лобового сопротивления; АР - площадь про-
екции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (см. рис.
1.39). В этом случае сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости
и всегда имеет противоположное направление. Работа силы Р, рассеиваемая
за один цикл:
Г/4
UP = 4 J Рх dt. (у)
о
Подставляя выражения (т) и (б) в соотношение (у), с учетом равенства СР =
(1/2) рCdAp получим
Г/4
Up - 4СрЛ3со3 j sin3 (at - 9) dt.
о
*) Vennard J. К. Elementary fluid mechanics. 4th ed. New York: John Wiley
and Sons, Inc., 1961. 570 p. Коэффициент лобового сопротивления Cd не
является постоянной величиной, а зависит от числа Рейнольдса, которое
является функцией скорости. В данном обсуждении используется некоторое
среднее значение коэффициента Cd-
84
Выполняя интегрирование, найдем
UP =-|-СрЛ3(й3. (ф)
Приравниванием этого выражения выражению (д) получим
сак, = Щ^- (1-54)
Таким образом, эквивалентное значение постоянной вязкого демпфирования в
данном случае прямо пропорционально величинам СР, А и а . Как и выше,
разделим выражение (1.54) на скр = 2рт и введем обозначение k = р2т, что
для эквивалентного значения коэффициента вязкого демпфирования дает
= (1'55)
при этом амплитуда установившихся вынужденных колебаний
Л ----- Qlk (х)
К(1 - со2/р2)2 + (8СрЛш2/Зл?)2
Возведя в квадрат левую и правую части равенства (х) и выполнив
необходимые преобразования, получим следующее биквадратное уравнение:
(1-56)
которое можно решить по известной формуле относительно Л2. Затем
вычисляем амплитуду колебаний А = У'А2.
Подводя итог сказанному, отметим, что эквивалентное значение постоянной
вязкого демпфирования можно всегда определить для произвольного вида
механизма демпфирования, приравняв работы гипотетического вязкого
демпфера и реальной конструкции. В выражении для работы используем
выражение (б) для скорости системы при установившемся движении и
гармонической функции возбуждающей силы, при этом эквивалентное значение
постоянной вязкого демпфирования определяем соотношением
т
Ur
пА2а
о
где R - сила сопротивления. Затем можно провести упрощенный динамический
анализ системы, используя полученное таким образом значение сакв. Более
того, при этом можно рассматривать одновременно несколько типов
демпфирования. Например, для комбинации кулоновского и вязкого трения из
выражения (1.57) получаем
_ 4F к
СЭКВ- лАа А- С- (ц)
85
Поступая с полученным выражением для сэкв так, как это было сделано выше,
при определении амплитуды А вынужденных колебаний имеем следующее
алгебраическое уравнение:
Во всех предыдущих обсуждениях вынужденных колебаний предполагалось, что
возмущающая сила описывается функцией, пропорциональной либо sin соt,
либо cos соt. В общем случае могут встретиться возмущающие силы,
описываемые периодическими функциями более сложного вида. В данном
