Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
видов энергии (рис. 1.36). Отсюда, приравняв выражения (в)
и (д),
можно определить амплитуду при установившемся состоянии
л = _О?ш0_> (
СО) 4 '
При резонансе (со = р) фазовый угол [см. выражение (1.48)1 равен я/2, а
амплитуда А достигает максимального (при с <</ с[ф) значения
Ащах - • (ж)
80
Нагружение
Амплитуда Рис. 1.36
деформации
Рис. 1.37
Это выражение совпадает с аналогичным выражением (и), полученным в п. 1.9
иным способом.
Соотношение (д) выражает энергию, рассеиваемую за счет вязкого
демпфирования за один цикл при вынужденных колебаниях. Это выражение для
энергии можно приравнять тому выражению, которое соответствует некоторому
иному типу демпфирования, и в результате определить эквивалентный
коэффициент вязкого демпфирования сак. Рассмотрим, например,
конструкционное демпфирование, которое происходит за счет внутреннего
трения в конструкционных материалах (например, сталь или алюминиевые
сплавы), которые не являются идеально упругими. Энергия, рассеиваемая в
единице объема материала, на рис. 1.37 представлена заштрихованной
областью внутри петли гистерезиса. Петля образована кривыми зависимостей
напряжения от деформации при увеличении (или при "нагружении") и
уменьшении (или при "разгрузке") величин напряжения и деформации. На рис.
1.37 показано, как происходит полное изменение направления на обратное
для напряжения и деформации при одном цикле колебания. При таком
механизме демпфирования энергия рассеивается почти пропорционально
квадрату амплитуды деформации *, а форма петли гистерезиса практически не
зависит от амплитуды и скорости деформации.
Поскольку амплитуда колебания пропорциональна амплитуде деформации, то
работу, рассеиваемую за один цикл при конструкционном демпфировании,
можно представить в виде
где s - коэффициент пропорциональности. Приравнивая соотношения (д) и
(з), найдем эквивалентное значение коэффициентов вязкого демпфирования
* Kimball A. L. Vibration damping, including the case of solid damping. -
Trans. ASME, 1929, v. 51, N. 30, pp. 227-236.
(3)
81
Множитель s/я имеет размерность коэффициента k и обычно представляется,
как в отношении (1.49), в виде y\k, где ц - безразмерная величина:
ц
s
7lk
(и)
которая называется коэффициентом конструкционного демпфирования. Эту
величину можно связать с величиной эквивалентного значения коэффициента
вязкого демпфирования уэкв, обусловленного жесткостью среды, разделив
представление (1.49) на величину 2рт [см. выражение (о) в п. 1.8] и
воспользовавшись обозна-
LKp
чением k
р2т [см. выражение (б) в п. 1.91, что дает
сэкв
Тэкв --- '
скр
(1.50)
Если это представление для у..)КВ подставить в выражение (1.47),
коэффициент усиления при установившемся поведении системы примет вид
РУСТ = 1 /1/'(1 - + Л2- (К)
Наконец, при резонансе имеем Ype3 = ц/2, Рре:) = 1 /г|. Тогда из
представления (1.49) и выражения (ж) получим
JL
kr\
•^max - '
(Л)
В качестве второго примера определения эквивалентного значения
коэффициента вязкого демпфирования рассмотрим рис. 1.38, где тело,
прикрепленное к пружине, скользит по поверхности, которая создает
сопротивление движению за счет трения. В случае сухого трения обычно
используют закон Кулона *, согласно которому сила трения F
пропорциональна нормальной силе N, с которой обе поверхности действуют
друг на друга
F = pN, (м)
где р - коэффициент трения. Из экспериментов следует, что коэффициент
трения при движении со сравнительно небольшими скоростями является
практически постоянной (и меньшей, чем в состоянии покоя) величиной.
Более того, случаи, где имеется трение качения, а не скольжения, также
могут рассматриваться с помощью закона (м).
* Coulomb С. A. Theorie des machines simples, en ayant egard au
frottement de leurs parties et a la roideur des cordages. Nouvelle
edition, a laquelle on a ajoute les memoires du meme auteur, - Paris:
Bachelier, 1821. 368 p.
82
Сила трения Р (см. рис. 1.38) всегда действует в направлении,
противоположном направлению скорости движения тела, что имеет место и в
гидравлическом амортизаторе. Однако сопротивление, обусловленное трением,
будем считать постоянным, независящим от скорости. Подобный механизм
демпфирования носит название кулоновского трения, причем в этом случае
получение строгого решения *, описывающего поведение системы при действии
возмущающей силы в виде гармонической функции, является более сложным
делом, чем в случае вязкого демпфирования. Для определения эквивалентного
значения постоянной вязкого демпфирования, которое требуется подставить
вместо сопротивления, обусловленного трением, подсчитаем работу Нтр силы
трения F, рассеиваемую за один цикл:
Дч, = 4 AF. (н)
Приравнивая это соотношение к выражению (д), получим
= о-51)
В этом случае величина коэффициента сэкв зависит не только от силы F
и частоты to, но также и от амплитуды А колебания.
Разделив выражение (1.51) на величину скр = 2рт и введя
обозначения
k = р2т, для эквивалентного значения коэффициента вязкого демпфирования
