Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
закону, задаваемому выражением (и). Определить амплитуду установившихся
вынужденных колебаний электродвигателя относительно основания, если дано:
а = 1,02 м/с2; со = 60 рад/с.
Ответ: 4,88-10-4 м.
1.7. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ СОСТОЯНИЕ
В предыдущем параграфе рассматривалось только последнее слагаемое
выражения (1.23), описывающего вынужденные колебания. В общем случае
приложение возбуждающей колебания силы вы-
60
зывает также свободные колебания системы, которые описываются первыми
двумя слагаемыми выражения (1.23). Таким образом, действительное движение
представляет собой наложение двух гармонических движений, имеющих разные
амплитуды и разные частоты, что в результате приводит к очень сложному по
своему характеру движению. Однако благодаря влиянию затухания,
неучтенного при выводе уравнения (1.23), свободные колебания исчезают в
короткое время и поэтому в решении остается только та часть, которая
относится к установившимся вынужденным колебаниям, постепенно
поддерживаемым возбуждающей силой.
Частный случай колебаний представлен на рис. 1.25 графиком зависимости
перемещений от времени. На штриховую линию, представляющую вынужденные
колебания с круговой частотой ю, накладываются свободные колебания с
более высокой круговой частотой р и уменьшающейся вследствие влияния
затухания амплитудой. Таким образом, результирующее движение
характеризуется сплошной линией, которая постепенно приближается к
штриховой линии, относящейся к установившемуся состоянию. Начальный
период этого движения, т. е. несколько первых циклов, в которых
присутствуют свободные колебания, обычно называется неустановивйшмся
состоянием. Иногда представляет практический интерес изучить этот вид
движения более подробно.
Амплитуду свободных колебаний можно найти из общего решения
(1.23), рассмотрев начальные условия. Так же, как и в п. 1.1, при ( = 0
имеем х = х0 и х = х0. Подставляя в эти условия решение
(1.23) и его производную по времени, найдем постоянные
Ci = х0; С2 = --------
qa/p
р рг - со2
Подставляя эти постоянные в выражение (1.23), получим *о , Я
(а)
х = х0 cos pt -| sin pt
^sinto^-^-sin pt). (1.29a)
p ' p*-
Если начальные условия таковы, что х0 = х0 = 0, это выражение упрощается
до
(1296)
_JL_ (щп а* - -у sin pt).
Выражение (1.296) описывает поведение во времени системы при действии
возмущающей силы Р sin at и состоит из двух частей. Первая относится к
установившемуся движению, рассмотренному в предыдущем параграфе, и
пропорциональна sin оэ?, тогда как вторая харак-
61
теризует свободные колебания и пропорциональна sin pt. Их сумма не
является гармоническим движением даже тогда, когда та состоит из двух
гармонических функций, поскольку составляющие имеют различные частоты.
Если для возбуждающей силы взять функцию Р cos соt вместо Р sin соt, то в
выражении (1.23) следует sin со/ заменить на cos со/. В этом случае из
граничных условий получаем следующие значения постоянных:
ci = *.-с.=-?- (б)
Подстановка этих значений в решение дает
x = x0cos pt + sin pt + р2_^М2 (COSt0^ - cos pt)- (1.30a)
Если начальные условия имеют вид х0 = х0 = 0, то это, выражение примет
форму
л- = -^-г (cos со/ - cos pt). (1.306)
В этом случае часть характеристики системы, относящаяся к свободным
колебаниям, имеет ту же амплитуду, что и часть, описывающая
установившееся состояние, за исключением множителя со/р.
Особый интерес представляет случай, когда частота функции возмущающей
силы равна или очень близка к частоте свободных колебаний системы, т. е.
когда со и р близки. Исследуя этот случай, введем обозначения
р - со = 2е, (в)
где е - малая величина. Затем перепишем выражение (1.296), описывающее
реакцию при действии возмущающей силы, задаваемой функцией Р sin со/, в
следующей эквивалентной форме *:
Х = p-qfi [ Р t (Sm " Sm № + ^Sin ^ + 51П Pt) ] •
Используя тригонометрические формулы, выражение (г) можно представить в
виде
ч/P Г/" (со + р)/ . (со - p)t ,
Л*
(р + со) cos - t sin
( р - со) sin (м + р) * cos ¦((|) - P1L j . (д)
Подставляя обозначения (в) в выражение (д), получим
а Г sin е/ , w cos &t . , w "I , .
x = - |-- cos(/> -в)/ - --sm(/> -e)/J. (e)
* Это решение было предложено в частном разговоре в 1970 г. Ч. Уангом из
отдела технической механики фирмы "Интерэктив текнолоджи", г. Санта-
Клара, шт. Калифорния.
62
Рассматривая предел этого выражения, найдем *
Ншдг = - -^-(pt cos pt -sin pt). (1.31a)
e-0 ZP"
Вводя фазовый угол, можно записать
х =-----^ A cos (pt - а), (ж)
где
Л = -j- V (ptf + 1; а = arctg (- 1 /pt). (з)
Таким образом, в предельном случае, когда со = р, амплитуда колебания с
течением времени стремится к бесконечности, как показано на рис. 1.26,
где сплошная линия представляет в безразмерном виде выражение (1.31а),
штриховая линия - в аналогичном виде только первое слагаемое. Можно
видеть, что уже через короткое время первое слагаемое становится хорошей
аппроксимацией полного динамического поведения системы, следовательно,
