Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Р' ~~~ 21 [3/а/(2А-к)]2 + / (2/а/*,.)2
ИЛИ
ЗАДАЧИ
1.5.1. На консольную балку с постоянной жесткостью при изгибе, один
конец которой защемлен, а другой свободен, установлено два груза весом W
(рис. А. 1.5.1). Используя метод Релея, определить период основного тона
свободных конечных колебаний, если дано: W = 4,54• 103 Н, / = 2,44 м, Е1
= 13,2-105 Н-м2.
Ответ: т = 0,271 с.
W
W
Рис. А.1.5.1
1.5.2. На свободно опертую балку со свешивающимися концами
установлено три груза весом W, 2W и W (рис. А. 1.5.2). Жесткость балки
постоянного поперечного сечения EI = 14,6-103 Н-м2, а ее собственно
распределенный вес мал по сравнению с весами грузов. Используя метод
Релея, определить период основного тона поперечных колебаний, если дано:
W = 230 Н, а = 0,91 м.
Ответ: г = 0,269 с.
W
2W
777? а Ьг а /2$ а а дставляют распре едоточенный в еле
1.5.3. Предположим, что Деленный вес балки прямоуго Рис. I Wlt
W2 и льного попе U.5.2 Wз на ри зречного се с. 1.18 пре чения, соср
51
дующих точках: в середине пролета балки и двух точках, удаленных на
четверть длины балки от ее концов. Пусть каждый из указанных весов равен
wll4. Методом Релея определить приближенное значение периода основного
тона колебаний.
-я Г
Ответ: т = 0,637 у ^ .
1.5.4. На рис. А. 1.5.4 представлена дискретная модель с
сосредоточенными массами для консольной балки постоянного поперечного
сечения, один конец которой зещемлен, а другой свободен. Используя метод
Релея, определить период основного тона колебаний.
Ответ: т= 1,84
V-
Ш)/4
ту
wt/4 о" i/4 0jL/4 wl/4
_0-о-о-о
Рис. А.1.5.4
1.5.5. На рис. А.1.5.5 представлена дискретная модель с
сосредоточенными моментами инерции, которая соответствует валу
постоянного диаметра с заделанными концами. Определить круговую частоту
первого тона крутильных колебаний.
Ответ: р = 3,35
а/4
а/4
а/4
Рис. А. 1.5.5
1.5.6. Пусть система, рассмотренная в задаче 1.5.4, представляет
собой модель с сосредоточенными массами для задачи о продольных
колебаниях стержня постоянного прямоугольного поперечного сечения с
площадью F. Используя метод Релея, определить круговую частоту р первого
тона продольных колебаний.
Ответ: Р 1,57 |/ .
1.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. УСТАНОВИВШЕЕСЯ
СОСТОЯНИЕ
В п. 1.1 были рассмотрены свободные колебания системы, состоящей из
пружины и сосредоточенной массы, и показано, что движение этой системы
зависит только от начальных условий ее физических характеристик k и Wig,
которые и определяют ее частоту соб-
52
ственных колебаний. Если система подвергается некоторым внешним
воздействиям, подобным зависящим от времени силам или специального вида
движениям опор, то динамическое поведение ее становится более сложным. Во
многих практических ситуациях приходится сталкиваться с периодически
изменяющимися силами, которые прикладываются к массе.
Тогда реакцию системы при указанных условиях показывают вынужденными
колебаниями.
В качестве примера вынужденных колебаний рассмотрим электродвигатель
весом W (рис. 1.21), закрепленный на пружине, которая препятствует
перемещениям только в вертикальном направлении. Эта ситуация имеет, как
уже говорилось в п. 1.1, круговую частоту собственных колебаний р = У
kglW. Предположим, что вал электродвигателя вращается с постоянной
угловой скоростью со и что он недостаточно хорошо отбалансирован (на рис.
1.21 это показано в виде эксцентрической массы, сосредоточенной в точке
Л). Этот дисбаланс будет порождать вращающуюся центробежную силу Р,
которая, в свою очередь, вызовет вынужденные колебания системы.
В дополнение к силе тяжести и силе реакции пружины теперь необходимо
рассмотреть вертикальную компоненту Р sin at вектора вращающейся силы. В
результате получим следующее уравне ние движения:
JLx = w-(W+kx)yPsinat, (а)
Рис. 1.21
где слагаемое Р sin at называется гармонической силовой функцией. Вводя в
уравнение (а) обозначения
Р2= -§Н; = (б)
получим
х -)- р2х = q sin at. (1-22)
Частное решение этого уравнения получим, предполагая, что решение х
пропорционально функции sin at, т. е. положив
х = С3 sin at, (в)
где С3 - постоянная, которая выбирается таким образом, чтобы
решение удовлетворяло уравнению (1.22). Подставляя (в) в это урав-
нение, найдем С3 =q/{p2 - а2). Таким образом, искомое частное решение
имеет вид
х = q sin at/(p2 - со2).
(г)
53
л
J
Прибавляя это частное решение к общему решению (1.2) однородного
уравнения (1.1), получим
2
x = Ct cos pt + С3 sin pt + - qpPz~r ¦
(1.23)
Это выражение содержит две постоянные интегрирования и яв-
0
2
и!р
ляется общим решением неоднородного уравнения (1.22).
Рис. 1.22
Два первых слагаемых в выражении (1.23) описывают свободные
колебания, которые обсуждались выше, а третье слагаемое, зависящее от
возмущающей силы, характеризует вынужденные колебания системы. Можно
видеть, что эти последние колебания имеют тот же период Т = 2я/со, что и
период возмущающей силы. Подставляя обозначения (б) в выражение (г) и
