Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
жении опоры используется измерительный прибор под названием акселерометр.
Например, перемещения грунта при землетрясении, как правило, измеряются и
записываются в виде трех взаимно-ортогональных составляющих по осям
север-юг, восток -запад и вертикальной составляющей ускорений грунта.
Поэтому вновь вернемся к задаче о движении основания, формулируя ее как
задачу о периодических ускорениях, а не периодических перемещениях.
Предположим теперь, что на верхнем конце пружины (см. рис. 1.23)'задано
следующее условие относительно гармонического ускорения:
xou = asin(o/. (и)
Применительно к рассматриваемой задаче уравнение (ж) принимает вид
W
- х + &(х -хоп) = 0. (к)
Для того чтобы уравнение (к) имело тот же вид, что и уравнение (и),
сделаем следующее преобразование координат:
х* = х - хоп; х* = х хош (л)
где х* -относительное перемещение массы от основания. Подставляя
выражения (л) для х - хоп и х в уравнение (к) и выполняя
соот-
ветствующие преобразования, найдем
-у- х* + kx* = - -у- хоп. (м)
Используя обозначения
о _
Р2 = -щ-' 9°п = - а (н)
56
и подставляя выражение (и) в уравнение (м), получим уравнение
х* -)- р2х' = qon sin соt,
(1.27)
идентичное уравнениям (1.22) и (1.25).
Решение уравнения (1.27) находим точно так же, как было сделано для
аналитических уравнений в предыдущих случаях, поэтому можно сделать
вывод, что реакция системы, выраженная через относительные координаты
[определяемые соотношениями (л)], совпадает с реакцией системы, к которой
приложена распределенная сила, равная (Wig) a sin со/. Тогда
установившиеся вынужденные колебания системы относительно смещающегося
основания описываются выражением
**=4-~lrsWM0(-r=W)- (1-28)
Несмотря на то, что начальное смещение основания и его скорость известны,
абсолютное движение сосредоточенной массы не может быть рассчитано.
Однако это обстоятельство обычно не является существенным, поскольку
именно относительное движение определяет силу, действующую в конструкции
(в данном случае в пружине).
Пример 1. Определить амплитуду вынужденных крутильных колебаний вала (см.
рис. 1.8) при действии периодического крутящего момента М sin col, если
частота свободных крутильных колебаний этого вала /=10 с-1, частота
крутящего момента, определяющего вынужденные колебания, со = Юл рад/с,
угол закручивания при действии крутящего момента М (если его приложить
статически) равен 0,01 рад.
Решение. Уравнение движения в этом случае имеет (см. п. 1.2) вид
М . .
-j- sin со 1,
(О)
где ф - угол закручивания, р- = kK/I. Вынужденные колебания описываются
вы ражением
М М
Ф =
¦ sin col =
¦ sin col.
(п)
/(p2 - W2) Mi-CO 2/p2)
Учитывая, что по условию имеем M/kK= 0,01 и р= 2л/ = 20л, найдем
максимальное значение амплитуды колебаний
Фтах= 0,01/(1 - */4) = 0,0133 рад.
Пример 2. Колесо катится по волнистой поверхности с постоянной
горизонтальной скоростью и (рис. 1.24). Определить амплитуду вынужденных
колебаний в вертикальном направлении груза W, прикрепленного к оси колеса
с помощью пружины. При статическом приложении груза W смещение конца
пружины 6СТ = 0,098 м, скорость v = 18,3 м/с и волнистая поверхность
описывается функцией у - d sin юс/1, где d = 0,025 м, / = 0,91 м.
Решение. Рассматривая вертикальные колебания груза W на пружине, находим,
что квадрат круговой частоты этих колебаний р2 - g/8CT = 100 с-2. Из-за
волнистости поверхности, по которой катится колесо, центр О колеса
колеблется
57
в вертикальном направлении. Считая, что в начальный момент (t = 0) точка
контакта колеса имеет координату х - 0, и полагая х = vt, можно описать
эти колебания в вертикальном направлении функцией у = d sin (nvt/l).
Тогда вынужденные колебания груза определяются выражением (1.26), в
которое следует подставить исходные данные: d = 0,025 м, со = nvll =
20яс-1, р2 = 100 с"2. Амплитуда этих вынужденных колебаний 1/(4я2 - 1) =
6,6- Ю-4 м. При заданной скорости v= 18,3 м/с колебания колеса в
вертикальном направлении передаются грузу W очень незначительно. Если же
увеличить скорость v колеса на четверть ее величины, получим со = 5л, а
амплитуда вынужденных колебаний станет 1/(л2/4 - 1) = = 1,73-10'2 м.
Увеличивая скорость v дальше, придем к условию резонанса (когда nvll= р),
при котором возникают условия самых интенсивных колебаний для груза W
(здесь влияние массы колеса не учитывается).
Пример 3. Для случая ферменной платформы, рассмотренной в примере 3 (см.
п. 1.1), изменяющееся по гармоническому закону [см. выражение (и)]
ускорение основания направлено по оси х. Определить амплитуду
установившихся вынужденных колебаний платформы, если а - 5,08 м/с2, со =
40 рад/с.
Решение. Выражение (1.28) описывает установившуюся реакцию системы
относительно основания, а максимальное значение амплитуды при этом
движении
Wa
( 1 - со2/р2 ) ' (Р)
В рассматриваемом примере имеем Г = 1,5-105 Н, к = 3,5-107 Н/м;
следовательно, квадрат частоты колебаний
в* = М- = 3,5-107-9,81 = 2290 с'2 Р W 1,5-105 '
