Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
и скалярный интеграл
(У, У) +Ф*(с, У, z) = у*,
(2.6)
I 2] О СИСТЕМАХ ТИПА ЛЯПУНОВА 97
Доказательство. Пусть
V = (а, У) + (Ь, z) + [2],
где не выписаны члены порядка выше первого относительно у и z, а векторы
а и b зависят аналитически от вектора с и обращаются в нули при с = 0.
Продифференцируем интеграл (2.6); в силу системы (2.5)
(а,М2у) + (Ь, Bz) +[2]=0. _ (2.7)
Определитель однородной системы (2.7) относительно 2 + т, компонент
векторов а и Ь непрерывно зависит от с и при с = 0 обращается в К2 det В
ф 0. Следовательно, при с = 0 имеем а = Ь = 0. В силу непрерывности,
последние равенства должны выполняться и при достаточно малом по норме
векторе с.
Лемма II доказана.
Для определения периодических решений в системе Ляпунова
(2.5) можно применять метод, предложенный Ляпуновым [77а] и развитый И.
Г. Малкиным (см. [79 а, б]). Иной круг вопросов для системы (2.5)
исследован в гл. III.
4 В. М. Старшинский
Часть вторая
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ К ЗАДАЧАМ КОЛЕБАНИЙ
Глава V
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ ВЕЩЕСТВЕННЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В математике проблема приведения автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений к наиболее простой, нормальной форме с помощью
замены переменных была поставлена Пуанкаре [188] и развита Ляпуновым
[77а] и др. Наиболее общие результаты в теории нормальных форм получены
А. Д. Брю-но [234к]; там же читатель найдет и библиографию. В § 1,2 мы
излагаем проблему, основываясь на работе [234к], однако, не с общих
позиций и не в самых общих ситуациях, а применительно к задачам
нелинейных колебаний, описываемых указанными в заголовке системами
уравнений. Часть доказательств в § 2 опускается.
§ 1. Первоначальные сведения
1.1. Постановка задачи. Рассмотрим системы вида
+ Ф"(х) (v = 1, (1.1)
где х - вектор с компонентами хъ . . ., хп\ Ф" (х) - аналитические в
некоторой окрестности нуля функции, разложения которых начинаются с
членов не ниже второго порядка; - либо вещественные либо
комплексносопряженные величины; в последнем случае Ху = Ху, Ху = X.,", Фу
= Фу.. Итак, здесь предполагается, что исходная вещественная система
преобразована таким образом, что ее линейная часть приведена к жордановой
форме и, более того, предполагается, что эта форма - диагональная.
Последнее обстоятельство в силу теоремы Вейерштрасса (см., например,
[146], п. I, 1.14) имеет место для колебаний в консервативных системах и
близких к ним.
Задача заключается в приведении системы (1.1) посредством обратимого (но,
вообще говоря, неоднозначного) преобразования
= у, + X, (уи . . ., уп) (v = 1, .. ., п; аг" (0, ..., 0) = 0) (1.2)
§ 1] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 99
К простейшей нормальной форме (разложения начинаются с членов не ниже
второго порядка). Именно, в статье А. Д. Брюно [234а] была введена
следующая запись преобразованной системы:
¦^jp = Ку* + 2/v?v (у) S3 Ку, + 2/v ^ gvQyQ (1.3)
QeaRv
(У = (Уи • • •, УпГ, v = 1, . . п),
где Q = (д1; . . gn)T - вектор с целочисленными компонентами, yQ = уТ ¦ •
• Уп11' ?vq - искомые коэффициенты. Множество значений Q для v-ro
уравнения таково:
П
Уи • • •, ?v-b ?v+i, • • •, ?n > 0, gv> -1, 1 (1.4)
i
(читателю нужно обратить внимание на множитель в v-м уравнении). Введем
обозначение 3R = (J U • • • U
Определение нормальной формы содержится в следующей теореме, которую
сформулируем применительно к постановке задачи п. 1.1.
1.2. Основная теорема А. Д. Брюно ([234к], гл. I, § 1, п. I).
Существует обратимое преобразование (1.2) системы (1.1) в такую систему
(1.3), что при записи системы в форме (1.3) gvq могут быть отличны от
нуля лишь для тех Q, для которых выполнено резонансное уравнение
(A, Q) = + . . • + ^nQn = 0- (2-1)
Здесь А = (X1; . . ., Хп)т - вектор из диагональных элементов линейной
части системы (1.3) (и (1.1)). Система (1.3), обладающая этим свойством,
называется нормальной формой.
Доказательство. Докажем, следуя А. Д. Брюно, что существует формальное
преобразование (нормализующее преобразование)
== 2/v [1 + К (у)], К (у) = S ^vQyQ (v = 1, . .., п) (2.2)
QeaRv
системы
¦^р = + Zv/v (х), /v (х) = ^ /vqxQ (v = 1, .. ., re) (2.3)
QeaRv
В систему
^р = Ку* + 2/vgv (у), gv (У) = ^ gvQyQ (v = 1,. .., п), (2.4)
(Л, Q)=o
такое что gvQ = 0, если (Л, Q) Ф 0, причем hvq для (Л, Q) = О можно
задать произвольно (отсюда и возможность неоднозначно-
4*
100 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
сти преобразования!); тогда остальные /i"q и q определятся однозначно.
Здесь yjiv (у), xv/v (х) и y^gs, (у) - степенные ряды, не содержащие
членов ниже второй степени. Преобразование (2.2) переводит (2.3) в (2.4),
если выполнены формальные равенства рядов по уи , . ., уп:
VI д\у*(\ + К)] м . i /у1 , 7 ч ,
/ I Щ+ У181) - (1 + й") т
г=1 1
+ г/v (1 + /гО А (г/i (1 + йх), • •., ?/"(! + К)) (v = 1, ...,д). Отсюда
имеем после очевидных преобразований
V! *-4 dh
Учйч + y->2_iWllVl = - y',8',h'> ~ у* 2_1 W Vlgl + г=1 1 1=1 1
