Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение (3.3) на первое:
dp U (р sin О) соз О - 2&F (р соз г*)1) сэз О
1
1 - [U (р sin О) - 2&F (р соз г*)1)] sin
(3.5)
Интеграл уравнения (3.5) при г = 0 найдем, подставив (1.4) в интеграл
энергии (3.2); будем иметь
р2 _|_ 2V (р sin ¦&) = р2; (3.6)
при этом разложение второго слагаемого начинается с членов не ниже
третьей степени р. Поскольку р > 0, то уравнение (3.6) допускает
единственное решение
р = ро (#; р) = р - V (р sin #) + (-Цг)Р=1х V ([* sin #) sin # -
- -jjr W (t1 sin *)]2 + 0 (t*4) (3-7)
для достаточно малых положительных р (ниже для примера в п. 1.4 будет
определен радиус сходимости ряда (3.7)).
Основываясь на теореме Пуанкаре ([107а], т. I, гл. И), будем искать
решение уравнения (3.5) для достаточно малых положительных значений е в
виде
со
р= рт(*;р)гт- (3-8)
771-0
В п. 1.2 получена последовательность дифференциальных уравнений (2.4) для
определения р^й; р) (т = 1,2, . . .) (полная система уравнений в
вариациях по параметру Пуанкаре). Нас будет интересовать первая поправка
Pi(&; р); дифференциальное уравнение для нее есть уравнение в вариациях
по параметру Пуанкаре (первое уравнение (2.4)). Получим его
непосредственно.
§ 1] СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА С ДЕМПФИРОВАНИЕМ 87
Записывая уравнение (1.5) в виде
р'=/(*.р;") ( = ^)
и вычитая из него тождество
Ро = / (О. р0; °)>
получаем
г' = ШоГ + (^г)о + 0(82) (г -РФ^-Рв^Р))" (3-9)
где индекс нуль означает, что значения частных производных вычислены при
р = р0(Ф; р) и е == 0. Разделив (3.9) на в и положив затем е=0, получим в
силу (3.8) уравнение в вариациях по параметру Пуанкаре:
р1 = {тг\р1 + [ж)о- (ЗЛ0)
В рассматриваемом скалярном случае это уравнение интегрируется без труда,
хотя и в неудобной для приложений форме. Поэтому предпочтительнее
пользоваться способом Пуанкаре ([107а], т. I, гл. II), изложенным в конце
п. 1.2. В нашем случае (3.7) является общим интегралом невозмущенного
уравнения (3.5) (т. е. при е=0):
Ро = / (ft, Po(ft; р); 0)-Продифференцировав это тождество по р, получим
= (Щ ^Ро
dd \ др /о др '
т. е. Зр0/др есть решение однородного уравнения, соответствующего (3.10).
Тогда решение уравнения (3.10) с нулевыми начальными условиями
pi(ft"; р) = ° (иб° Ро (ft0; р) = р(0)> Pm (ft0; р) = о, m = 1,2,...)
запишется в виде (2.6)
(зл1)
а"
Из (3.7) и (3.5) найдем
4}Г = '-?[-;Г6 <!*"*")] 4-О О**). (3-12)
(-g-)o ~ - 3 jT- U (Ро sin О) sin О]-1 F (р0 cos О)
X
X cos О jl -f- -i- U (ро sin О) sin # |Ч - U (р0 sin О) sin oj .
(3.13)
88
ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
Теперь из (1.4), (3.8), (3.7) и (3.11) получим
и = [ро(0; р) + ePi(#; + о (е2)] sin ft (3.14)
и после определения ¦& = ¦& (т; ¦&") из первого уравнения (3.3)
найдем общее решение исходного уравнения (3.1) (с произвольными
постоянными ц и ¦&") для достаточно малых положительных е, определяемых
условием (3.4) и условием цитированной теоремы Пуанкаре. При этом граница
сверху для р >0 (корня квадратного из начального значения приведенной
энергии (3.2)) определяется радиусом сходимости ряда (3.7).
1.4. Уравнение Дюффинга с линейным демпфированием. Рассмотрим в качестве
примера названное уравнение
й + 2ей + и + а и3 = 0 (е 0, а 0), (4.1)
т. е. (см. (3.1) и (3.2)) F (й) = й, U (и) = -а и3, V (и) - а и*.
Условие (3.4) определит область допустимых значений в трехмерном октанте
изменения переменных р ^ 0, § > и параметра е > 0
1 + ар2 sin4 ¦& + е sin 2# 0 (4.2)
и будет заведомо выполнено при O^e^l. Интеграл энергии
(3.2) невозмущенного (е = 0) уравнения (4.1) примет вид
р2 -)-~ ар4 sin4 0 = р.2 и при условии 2ap,2sin4,fr < 1, которое заведомо
выполнено при
(4-3)
допускает единственное решение (3.7)
Ро (*, Р) = Р [! - 4" a^2 sin4 * + 0 ^4) '
Вычислим (3.12) и (3.13)
=1 - ар2 sin4 ft + О (ц4),
(°L) =
\ дг Jо
= - 2р0 cos2 ¦& (1 + аро sin4 д)-1 [1 - аро sin4 ft (1 + аро sin4 d)-1]
¦-
= - 2ц cos2 ft ?l ац2 sin4 ¦& + О (ц4) .
Будем искать решение, удовлетворяющее начальным условиям: и (0) =-= 0, й
(0) = щ 0, при этом в силу (1.4) и (4.4) = 0
и ц = м0. Предположим также (см. (4.3)), что н0 < ]А0,5а. По
§ 11 СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА С ДЕМПФИРОВАНИЕМ 89
формуле (3.11) найдем
Pi (Ф; Р) = - Р jft + s'n 2d + ар2 3d sin4$ -
sin 2$ sin4 d - ~ d + sin4 d + sin3 2d^ + О (p4)J .
Из первого уравнения (3.3) найдем
¦9
т - ^ (1 - ар,2 sin4 $ - е sin 2d + . ..) dd = о
= d - е sin2 d - ар2 sin 4d - sin 2d + d'j + . .. ,
где точками обозначены члены порядка е2 и ер2. Обращая последнюю формулу,
получаем
d = т + 4- ар2 (-jj-1 - sin 2т -|- -i- sin 4т'j + е sin2 т -j- . . . .
4
Выпишем решение в виде (3.14)
и = [р ^1 ар2 sin1 т)-ер(т+4- s*n ^х) (r) х
X sin [т -|-^-ар2 ^-|-т- sin 2т + -^-sin4T^ + е sin2 т + О (e2)j (4.5)
для интервала изменения т порядка О (е-1).
Замечание. Используя специфику примера, именно линейность демпфирования,
можно получить решение, справедливое для всех т 0. Подстановка
iu = e~^v
приведет уравнение (4.1) к виду
dx dx
-?- = g(T,x;a), (4.6)
х = М, g=( i ).
\ v ) \ - (1 - в2) v - ae 2?T vd )
