Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Л (*) = fpo W; p., М, iV)+epi (ft (т); р, М, TV)] sin ft (т)+ 0(е2),
I (т) = [р0 (ф (t); р, м, N) + ePl (ft (т); р, М, TV)] X
X [z? (О (т); р, М, N) + ez} (ft (т); р, М, N)] + О (е2).
Постоянные р (начальное значение энергии (5.2)), М и N определяются из
начальных условий ц (0), ? (0) и | (0); интервал изменения т имеет
порядок О (е-1).
§ 2. О системах тина Ляпунова
Определение 1. Системой, близкой к системе Ляпунова, называется
вещественная система вида
^ = Ax + X(x) + pF(*,x,p), (0.1)
обращающаяся при р = 0 в систему Ляпунова (I, 1, 1.1), т. е.
a = u2 + p, J2 = ||1° -J||, р = иpSr||il
и в которой вектор-функция F аналитична по х и малому параметру р в
некоторой области, непрерывна и периодична по t с периодом 2л.
Определение 2. Системой типа Ляпунова называется вещественная система
вида
^ = Ах + Х(х), (0.2)
94
ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
в которой матрица А линейной части системы имеет I нулевых собственных
значений с простыми элементарными делителями, два чисто мнимых
собственных значения: + Аг, и. не имеет собственных значений, кратных +
Аг; X (х) (как и в (0.1)) - аналитическая вектор-функция х, разложение
которой начинается с членов не ниже второго порядка.
В этом параграфе показано, что системы типа Ляпунова могут быть сведены к
системам Ляпунова.
2.1. Постановка задачи. Запишем систему типа Ляпунова, в развернутом
виде при обозначениях, отличающихся от (0.1),
?i, . . ., тр, ц2, . . ., ?т в некоторой окрестности начала ко-
ординат, разложения которых по степеням этих переменных начинаются
членами не ниже второго порядка; среди корней уравнения
нет нулевых и кратных величинам + А г.
Предположим, что система (1.1), кроме ляпуновского скалярного интеграла
допускает еще I также аналитических первых интегралов, записанных в
векторном виде как
где
Г
и вектор-функции u, v, w - аналитические функции переменных
det [В - xlm] = 0
(У, У) + Ф (х, у, г) = То,
(1-2)
р(х)+ f(x, у, z) = c,
(1.3)
где
В (1.2) и (1.3) разложения ф, фь . . ., ср( начинаются с членов не ниже
второго порядка относительно . . ., ?(, тр, ц2, • • •
.. ., ?т; Л! (х), . . ., Л; (х) -линейные независимые формы перемен-
О СИСТЕМАХ ТИПА ЛЯПУНОВА
95
ных ?г, которые можно выбрать в виде л}(х)=
(/ = 1, . . I); таким образом,
р(х) = х. (1.4)
2,2. Преобразование системы типа Ляпунова.
Лемма I. Систему (1.1) - (1.3) можно преобразовать так, что вектор-
функции u, v, w и f обращаются в нуль при у - z =0:
и(х, 0, 0) - v(x, 0, 0) = w(x, 0, О) = f (х, 0, 0) = 0.
Доказательство леммы основано на преобразовании Ляпунова ([77а], п. 28)
при исследовании критического случая одного нулевого корня. Именно,
выполним в (1.1) - (1.3) замену переменных
У (0 = У (0 + У (х). z(t) = z(t)+z(x), (2.1)
где у (х), z (х) - аналитические вектор-функции переменных . . ., ?(, не
содержащие линейных членов и удовлетворяющие уравнениям
МаУ (х) + v (х, у (х), z (х)) = 0,
Bz (х) + W (х, у (х), Z (х)) = 0.
В результате замены будем иметь, выделяя новые нелинейные члены й, V, w,
rj Y ~ ~ ~ ~
= и(х, у + у(х), Z + Z (х)) = и (х, у, Z),
= U2y + v(x, у + у(х), i + z(x)) -v(x, у(х), z(x) -
- ^-u = Usy + v(x, у, z), (2.2)
= R/ -L- W V -L- V (Y^ . <7. -L- 'I. (yY
dt
dx
d 7 ~ - -
- = Bz + w (x, у + у (x),.z + z (x)) - vv (x, у (x), z (x))
9z-u = Bz + w(x, y, z),
где
dy _ II 3x
dz I
dx ~~ I d^h
суть матрицы порядка 2 X l ят X Z соответственно. Нам требуется доказать,
что
и (х, 0, 0) = v (х, 0, 0) = w (х, 0, 0) = 0.
Запишем векторный интеграл (1.3) в силу (1.4) и (2.1) в виде
х + f (х> У (0 + У (х)> 2 (0 + 2 (х)) = с (2.3)
96
ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
и продифференцируем его в силу (2.2)
u(x,y,z) + |^u(x,y,z) + -|^[u2y + v(x,y, z) + -||-u(x,y,z) +
+ ^ [Bz + W (X, y, ~z) + 1^- u (x, y, z~)] = 0.
Положим в этих тождествах у = z = 0 (замечая, что из (2.2) сле-
Следовательно, в достаточно малой окрестности начала координат (х = у = z
= 0) й(х, 0, 0) = 0. Из (2.2) следует, что в этой же окрестности
Система (2.2) допускает решение х = const, у = z = 0; подставляя его в
(2.3), найдем
Лемма I доказана.
Будем считать, что система (1.1) - (1.3) преобразована согласно лемме I и
сохраним для нее прежние обозначения. Разрешим векторный интеграл (1.3)
относительно х
где f* - аналитическая вектор-функция относительно с, у, z (f* (с, 0, 0)
= 0), не содержащая линейных членов при с = 0.
Подставив (2.4) в (1.1), (1.2), получим векторную систему - систему
Ляпунова
где функции v*, w* и ф^ аналитически зависят от с, у, z и обращаются в
нули при у = z = 0 (согласно лемме 1), а постоянная у* = = у0 - Ф (с>
0)- Вектор-функции v* и w* не содержат линей-
ных членов при с = 0.
Относительно функции ф* справедлива
Лемма II. Функция ф* в (2.6) при достаточно малом по норме векторе с в
интеграле (1.3) не содержит членов первого порядка относительно у и z.
v (х, 0, 0) = w (х, 0, 0): = 0.
f (х, 0, 0) = 0.
X = с+ f*(c, у, Z),
(2.4)
= Ы2у + v* (с, у, г), -^-=Bz + w*(c, у, z), (2.5)
