Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
обозначим Ljx,) и т. д. Вплоть до сочетаний Pk-jxx-ixx_x+i) • • • . ..,
Pft-jxx по Цх-i из оставшихся Цх-i + Рх натуральных чисел !)•••> к\ pi, .
. ., pjx" p\Lt+i, • • ., Pk-tSi-^x-i (их число обозначим Cjt*-1,,. ).
Итак, мы проделали преобразование
r'X-l+r'X
2 a.i .1 • • • а.х ,х У. 1 • • • У. 1 • • - У ,х • • • У.х =
А .х h- Ц--^х h h
^х
л...<" СЙ:Я 1..........^......
• • • X X • • •
• • • X a4-tAx-lAx-l+l-}Vfc_lXxa,Pk-^x+l-jI,ft2/i' ' ' ' Vik' (3'8)
Здесь ""l^1 обозначает суммирование по всем сочетаниям по Цх
натуральных чисел ри . . ., pjx, из 1, . . ., к;
oPp-i-fl'* • • "Рр-|+Р-* _____
*Si,..,k\Pt,.V.,p1I1 - суммирование по всем сочетаниям по р2
натуральных чисел pjx,+i, . . ., Pjx,+jxt из оставшихся к -
рх нату-
ральных чисел 1, . . ., к \ ри . . ., pjx, и т. д.
Теперь, используя (3.7) и (3.8), запишем (3.6) в симметризо-
ванном виде
+ S "W-W*
Х=2 к i=l it, - ,j'k= X
X Ф/ .' Уh • • • У)К + S (Ц + • ' • + ^)к - ^v) a?...j У* * * * У~
ЙРАЙТИЧЁСКИЙ СПбСОЁ ВЫЧЙСЛЁНЙЯ
115
/С-1 п
fn
- 21 • • • 2/;к + 21 21 aii...ix
x=2
и Их
X
1
_____________ oPfc-P'x-l^x-i+l' - 'P'f-^x oPlx1+i,-.Pp1+p2 v
t^x-l 1...........................................l,...,*\Pi....Pp.,
l*"-l+l*x
... X a
X a)x 1 j a)x i Ук-"Hik (3.9)
}Vk-\X _U.. .j-Г •'P.ir-U.. }Vk-\X j-l•¦¦Jpk^31 '
ct*
'p/r-^x-p'x-l+l'''31'*-^ 3p/r-t\+ l-":'p/f;
3.4. Вычислительная альтернатива в общем случае. Введем
Справедлива следующая альтернатива.
1) Допустим, что значения v, Д, ...,/* (и реальных параметров исходной
колебательной системы, от которых зависят К, %jt, . . ., Kjk) таковы, что
круглая скобка в последней сумме левой части тождеств (3.9) отлична от
нуля, т. е. Ад.,.. § = 0. Сравнивая члены с г/;, . . . yj. в левой и
правой частях тождеств (3.9), замечаем, что при нашем допущении
соответствующий член из первой суммы слева заведомо отсутствует.
Действительно, обращаясь к представлению (1.3), запишем член с yjt . . .
yjr. в виде
Для этого члена (Л, Q) = XyV 1 + ... +^jk • 1 + Xv.(-1)^=0, а согласно
представлению (1.3) в первую сумму слева (3.9) входят только члены, для
которых (Л, Q) = 0.
Приравнивая в тождествах (3.9) коэффициенты при yjx . . . . . . У] ,
получим формулу для коэффициентов нормализующего преобразования (3.2):
символ
(4.1)
Уч' - • • • У]КУ* •
(4.2)
(\д + • • • + - Xv Ф 0; v, /i, . . ., ;'ft
- 1, • • •> re),
ш
КРАДкИЁ СВЕДЕНИЯ ПО 'ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
где
Bh-}k - aii-iK + ^ "ц..лх ]Г,
X
.... nV'trV'* Г"^Х-1
х=2 ^1,• • ^ Л-* " * Н'х-1^'^'х
v еРЛ-Р"-р)(_1+1 Т>к-\\ "Рщ+г-Рщ+Ц,
л "Ч 'г\р'"- -рл-р)(-рл_1 • ¦ • '31. -.л\р1. -,.рр1 х
"Pi.-.Pix, г, и гх-1
/\ о 1 if а, 1 и* 4 ¦" "cti 4 /\
1, -, Jpi-¦ -Jpjj., JР(г-!\-!\_x+i"'JPk-|\
n
xa> , - _2L_5p--;px-iV a} ;Ф!- - Л (4.3) 'Pk-^+i-'Pt с?"1 1...* Z-J
^¦•••'Px.-i1l^ixix+v.jJ v ;
л г=1
(v, A,. •., h = 1, • • ¦, n).
2) Допустим, что значения v, /х, . . jh (и реальных параметров
исходной колебательной системы, от которых зависят Xv, Xjt, . . .
. . ., Xjk) таковы, что круглая скобка в последней сумме левой части
тождеств равна нулю, т. е. = 1- Это означает, во-пер-
вых, что величина <4,...^ может быть выбрана любой, в частности, равной
нулю или определенной по непрерывности по значениям реальных параметров.
Во-вторых, сравнивая члены с yh ...
. . . yj,. в левой и правой частях тождеств (3.8), получим теперь формулу
для симметризованных коэффициентов нормальной формы
4&-J* = (v,/b = l,...,n). (4.4)
Резюме. в обеих формулах играет роль "сторожа".
Действительно, по формуле (4.4) при А),...3-. = 0 имеем =
= 0 (случай 1)). При = 1 (*.,-,+ . . . + к1к - К = 0)
дробь перед квадратной скобкой в формуле (4.2) теряет смысл, превращаясь
в неопределенность - мы хотели напомнить читателю, что при этом значение
aj,...,- может быть выбрано любым.
Поясним еще раз обозначения в формуле (4.3). Величины dji... jk (и ...
ix), a}v... ер)- .> суть симметризованныекоэффициенты исходной системы
диагонального вида (3.1), нормализующего преобразования (3.2) и
нормальной формы (3.3), при этом а{ = бjh, фл = hjf)jh (бJh - символ
Кронекера). Формулы (4.2) и (4.4) рекуррентные - величины а и ф, в них
входящие, суть коэффициенты до (к - 1)-х степеней включительно. Числа
р15 . . ., pfe_i-натуральные, С1т - число сочетаний из тп элементов
. "Р.,- • •, Ри,
по Ц <Ь1;. * означает суммирование по всем сочетаниям ръ . . .
. . ., pjx, по pt натуральных чисел из 1, . . ., /с>
Л17..1|С\р1,...,р1А1озна-
ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЙ
117
чает суммирование по всем сочетаниям рщ+i, ¦ ¦ ¦, Рщ+щ по .ц2 натуральных
чисел из оставшихся к - р* натуральных; чисел 1, . . . . . к \ ри . . рц,
и т. д. Наконец, через /х, /х+1, ...,/* обозначены оставшиеся из индексов
]\, . . ., Д за вычетом индексов
]р" • ¦ ]рх_х.
3.5. Замечание о переходе от симметризованных коэффициентов к обычнымг
Пусть индексы /ь . . ., jk (принимающие, вообще говоря, значения из 1, .
. ., п независимо друг от друга) расположены так, что первые % (1 < X <
