Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
неприменим.
Однако к преобразованной системе можно, вообще говоря, применять и другие
методы малого параметра, например, метод усреднения [30, 17, 85г, 33,
39]. Поскольку при этом исследуется болеё широкий круг вопросов, чем
определение периодических решений, в частности, изучение переходных
процессов и др., то этим и определяется полезность преобразования систем
Ляпунова. Эта сторона вопроса развита в гл. III.
1.1. Общий случай [322д - ж, к, у]. Рассмотрим систему дифференциальных
уравнений Ляпунова
= - Ху + X (х, у, хи .. ., хп), ~ - ХхY (х, у, хи .. ., хп),
(1.1)
dx
¦" Pal^l Psrv^n ~~Н У i * * *" ^n)
(s = 1,.. ., n).
Здесь X, psr - вещественные постоянные, a X, Y, Xlt . ¦ ., Xn суть
вещественные аналитические функции х, у, х1г . . ., хп, раз-
1?
ВВОДНАЯ
[ГЛ. 1
ложения которых начинаются с членов не ниже второго порядка. Ляпуновым
доказана теорема ([77а], § 42): если
а) уравнение det || psr - Ssrx || = 0 не имеет, корней вида mki (т = 0,
±1, ±2, . . i = У-1),
б) возможно найти формально удовлетворяющие системе (1.1) ряди по
степеням произвольной постоянной с
х = сх1-1) с2х{2) + . . ., у = суд-) + с2уд) 4- . . .,
xs = + c2xf} 4- . . . (s = 1, . . ., п),
причем хд), уОс); xd)f ... хд) (& = 1, 2, . . .) - периодические функции
t одного периода и хд) (t0) = yik) (t0) - 0 при k 1, то найденные ряды
абсолютно сходятся, пока с не превосходит некоторого предела и
представляют при этих значениях с периодическое решение исходной системы
(1.1).
Остановимсяна техслучаях,когда по крайнеймере одно из этих условий
нарушено и теорема Ляпунова отказывает. Нарушение условия а) означает
появление "резонансного" случая, чему посвящена статья Ю. А. Рябова
[316а]. Условие б) нарушается, когда в разложения X, Y, Хъ . . ., Хп не
входят члены х4 и у~* (v = 2, 3, . . .). В последнем случае на каждом
шаге определения коэффициентов любого из рядов (1.2) будут получаться
тождественные нули.
Однако и в этих случаях, как будет показано в гл. III, возможно
определить периодические решения системы (1.1), если они существуют. Имея
в виду также сказанное во введении к параграфу, перейдем к преобразованию
системы Ляпунова не подчиненной, вообще говоря, условиям а) и б). Будем
предполагать для дальнейшего, что система (1.1) допускает первый интеграл
*), который необходимо будет аналитической функцией переменных х, у, хг,
... . .'., хп ([77а], § 38; [79а], § 25; 1796], гл. VII, § 1) вида
Н - х2 + у2 + W (хг, . . ., хп) 4- 5, (х, у, хг, . . ., х") = р2
(р > 0), * (1.3)
где W - квадратичная форма. Подстановка Ляпунова
х = pcosd, у = psind, xs = рzs (s = 1, . . ., п) (1.4)
приведет систему (1.1) и первый интеграл (1.3) к виду
¦g- = р2д (р, о, z), 4г = Л4-ре(р,о,*),
- Pslzl + • • • + Psnzn + P^s (Pj Hi z) ¦
(s = 1,..., n),
P2 [1 4- w (Z) 4- pS (p, H, *)] = p2. (1.6)
Это входит в определение системы Ляпунова.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМ ЛЯПУНОВА
13
Здесь R, 0, Zj, . . Zn и S - аналитические функции переменных р, zlt . .
., zn в некоторой окрестности нулевых значений, разложения которых по
степеням р начинаются, вообще говоря, с членов нулевой степени,
коэффициенты степеннйх рядов но р, zlf ...
. . ., zn суть периодические функции Ф периода 2л, являющиеся
многочленами относительно cos'(r) и sin H, именно:
R = р~2 [X .(р cos Ф, р sin -й, pz) cos -й -f-
-f- Y (р cos И, р sin й, pz) sin ¦в1],
0 = p~2 [ - X sin H -f- Y cos -O'], • (1*7)
Zs = p-2A's (p cos fl, p sin fl, pz) - z,R (p, z) (s =-- 1, . . ., n), S
= p~3S3 (p cos -й, p sin ft, pz)
и z есть вектор с компонентами zlt . . ., zn.
Предположим, что 1 -|- W у> О в (1.6). Это будет иметь место для всех
значений zlt . . ., z", если W есть определенно-положительная
квадратичная форма (что имеет место для интеграла энергии) и для
некоторых достаточно малых значений zlf . . ., zn в общем случае.
Разрешим (1.6) относительно р, взяв одну из ветвей аналитической функции,
именно - всюду имеется в виду арифметическое значение корня:
(1.8) 0 (!**).
Р = (1 + wy\ {i - -L (1 + wo (0, a, z) p +
'4- (1 + wy3 S'2 (0, 0, z) - 4 + wг 5P (°" z)] и-5
Предполагая p достаточно малым, введем фазовое время ft, для чего
разделим последние п уравнений (1.5) на второе:
dzs Л>1г1 + • • • + Psnzn + PZe (p. b,z)
90
(S = 1, . . ., n).
X + p0 (p, 0, z)
Запишем результат подстановки разложения (1.8) в последнюю систему:
dzs
Ь = PslZi
- - (PslZl + ¦ dZ (0, ¦O', z)
PsnZn + [1 + W (z)] • + PsnZn) (c) (°, ¦", Z)
Jl2
zs(0, #,z)-
f [1 + W(z)]-1 X
X
{
dp
_ 4- [1 + w (z)]-15 (0, ft, z) Za (0, ft, Z)
1-0(0, ft, z) Zs (0, ft, z)
+ 4~ (PslZl + • • • + PsnZn) [4 02 (0> Z) _
90 (0, O, z)
dp
4(1 + wy1 S (0, ft, z) 0 (0, ft, z)]} p2 + О (P3) (1.9)
(s = 1,. .., n).
14
ВВОДНАЯ
1ГЛ. I
К системе (1.9) впервые пришел И. Г. Малкин ([79а], § 26), выписав явно
лишь ее постоянную часть. И. Г. Малкин ограничивается доказательством
существования периодического решения в окрестности нулевого порождающего
решения. Здесь же (гл. III) будут отыскиваться периодические решения в
