Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы выразим /г через Ez с помощью уравнений (3.25) и (3.26) и подставим в уравнение (3.1), то получим
Уравнение (3.27) является волновым уравнением для среды с диэлектрической проницаемостью К, где К, по-прежнему, определяется формулой (2.32). Таким образом, альфвеновскую волну можно рассматривать как обычную электромагнитную волну, распространяющуюся в газе с большой диэлектрической прони-
(3.25)
Ez — VyB = 0.
(3.26)
(3.27)
Волны в плазме
93
цаемостью. Фазовая скорость такой волны равна
V= К* = (1 + 4ярс2/В2),/2 ‘ ^3'28^
При /С^>1 фазовая скорость становится приблизительно равной так называемой альфвеновской скорости Va1 которая определяется соотношением
V л ——• (3.29)
А (4яр)'Л V
С другой точки зрения альфвеновские волны удоб-> но рассматривать как колебания магнитных силовых линий; согласно рассуждениям, приведенным в гл. 2, § 5, движение плазмы сопровождается движением си> ловых линий. Система напряжений, связанных с магнитным полем, сводится к продольным натяжениям силовых линий (натяжение равно B2I8я) и боковому давлению на них, также равному В2/8п. Как заметил Каулинг [13], такая система эквивалентна гидростатическому давлению В2/8я и удвоенному продольному натяжению В2/Ал. Если у(х)—смещение среды, то, согласно теории струны, объемная плотность упругих сил равна величине натяжения, умноженной на д2у/дX2. Следовательно, уравнение движения имеет вид
0*L-*L*y /3 301
р dt2 ~ 4я дл3 ’ (O.JU)
что согласуется с уравнением (3.27) при больших значениях К. Поскольку альфвеновская волна является поперечной электромагнитной волной, она может быть поляризованной в одном из двух направлений. Это дает две независимые волны, распространяющиеся в направлении магнитного поля В. Двумя другими независимыми волнами являются электронная и ионная волны, которые были рассмотрены выше и которые не изменяются при наличии магнитного поля, если направление их распространения параллельно В.
94
Глава З
Для плоскополяризованных альфвеновских волн большой амплитуды необходимо еще учитывать действующую в направлении оси х пондеромоторную силу —jz&y\ пропорциональную квадрату амплитуды
волны. В несжимаемой жидкости скорость в направлении оси х возникнуть не может, поскольку, согласно уравнению непрерывности (2.14), dvx/dx=0\B этом случае сила, действующая в ^-направлении, будет уравновешиваться соответствующим градиентом давления, и уравнения (3.27) и (3.28) оказываются справедливыми для волн произвольной амплитуды. В случае сжимаемого газа и волн большой амплитуды возникают скорости в дс-направлении, в результате чего уравнения (3.27) и (3.28) изменяют свой вид. Если, кроме того, частота столкновений мала и скорости частиц сравнимы с фазовой скоростью волны V, то для плоских волн конечной амплитуды появляются дополнительные усложнения. Однако положение значительно упрощается в случае волн с круговой поляризацией. Как было показано Ферраро [15], для поляризованных по кругу альфвеновских волн сила JX ВО) обращается в нуль, и формула (3.28) дает точное значение скорости таких волн большой амплитуды. К тому же распределение скоростей частиц теперь не вызывает какого-либо эффекта, если только давление изотропно (см. гл. 4, § 2).
Альфвеновские волны можно вызвать посредством начального смещения вещества в направлении, перпендикулярном магнитному полю В. Вообще говоря, в результате такого смещения возникнут две волны, распространяющиеся в противоположные стороны вдоль силовых линий. Более подробно свойства этих волн, включая их затухание, обусловленное конечной проводимостью среды, рассматриваются в моногра-» фии Альфвена [3].
Рассмотрим теперь волну, в которой скорость ча-стиц V параллельна направлению распространения и перпендикулярна к В, Такую продольную магнито-
Волны в плазме
95
гидродинамическую волну мы будем называть в дальнейшем магнитозвуковой волной. В этом случае следует в уравнении (2.11) сохранить Vp и соответствующим образом изменить уравнение (3.25). Ввиду того что теперь вдоль магнитных силовых линий условия однородны, в макроскопических уравнениях можно заменить VV на ур±. Таким образом, даже в отсутствие столкновений такой подход к изучению магнитозвуковых волн является справедливым без каких-либо ограничений на соотношение между скоростями частиц и фазовой скоростью волны. Как и прежде, не будем учитывать в уравнении (2.12) члены порядка о)/соСі, т. е. dj/dt, j X В и rjj. Кроме того, можно показать, что при малых o)/toc* плотность за-
Йяда а в уравнении (3.1) пренебрежимо мала, [осле некоторых алгебраических преобразований получим
V2 -I- V2
где Va и Vs суть альфвеновская скорость и скорость акустической волны (скорость звука), определяемые формулами (3.29) и (3.21), соответственно. В отсутствие столкновений возмущения магнитного поля меняют скорости частиц в двух направлениях, перпендикулярных к В, и, следовательно, сжатие является двухмерным; поэтому в уравнении (3.21) в этом случае Ye=Yi = 2-
В таких волнах инерции ионов противодействуют две упругие силы: градиент давления газа и градиент «магнитного давления». Если магнитное давление В2/8л велико по сравнению с газовым давлением р, то скорость магнитозвуковой волны приблизительно равна скорости альфвеновской волны, хотя эти волны и являются совершенно различными с точки зрения участвующих в них магнитных напряжений. Если же газовое давление значительно больше магнитного, то магнитозвуковая волна является, по существу,
