Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если величина V является мнимой, то волна проникает на некоторое расстояние в плазму, но амплитуда ее на некотором расстоянии d уменьшается
Волны в плазме
83
в е раз. Из формул (3.5) и (3.7) находим, что длина затухания d равна
Таким образом, при ш<С(ор величина d примерно в 2я раз меньше, чем длина волны в вакууме, соответствующая плазменной частоте.
При учете конечной проводимости величина И2 становится комплексной. При частоте ы, достаточно большой по сравнению с плазменной сор, распространение волны сопровождается ее постепенным затуханием, так как происходит диссипация энергии в виде омических потерь гі/2. Если частота ш достаточно мала по сравнению с Wp, то в уравнении (2.12) можно пренебречь членом dl/dt, а, следовательно, в уравнении (3.1) можно положить j = E/ri. Тогда
В частности, при 4яс2/о)Т]^>1 можно не учитывать действительную часть величины и2, и из формул (3.5) и (3.11) мы получим для длины затухания d известное выражение толщины скин-слоя
Величина сопротивления электронно-протонного газа дается формулой (5.37), справедливой при условии, что а><с1 Це (te—время самостолкновений). Для этого случая мы получаем из уравнения (3.12)
где V — частота. Условие 4яс2/(ог)^>1 означает, что формула (3.13) остается справедливой, пока вычисляемая по ней длина затухания d будет значительно меньше отношения с/<о (длины волны в пустоте,
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
84
Глава З
деленной на 2я). С другой стороны, в уравнении (2.12) можно пренебречь членом dj/dt лишь в том случае, если формула (3.13) дает большее значение, чем формула (3.10). Из двух значений, определяемых по формулам (3.10) и (3.13), в качестве d следует выбирать наибольшее.
? 2. Электростатические волны в отсутствие магнитного поля
Исследуем теперь волны, в которых квазиупругие силы являются электростатическими и создаются зарядами, связанными с дивергенцией плотности тока j. Как уже отмечалось, существуют два основных вида таких волн: электронная и ионная.
При рассмотрении электронных волн в уравнении
(2.12) можно не учитывать члена Vpi. Если считать также, что равны нулю т) и В, то обобщенный закон Ома примет вид
+ (З.И)
Вид последнего члена в уравнении (3.14) равнозначен предположению, что тензор напряжений является изотропным. Однако это предположение на самом деле не выполняется, поскольку частоты рассматриваемых колебаний велики по сравнению с частотами столкновений, и поэтому переменная часть тензора напряжений должна быть анизотропной. Так как нет магнитного поля, то нельзя заменить ре на реL- Тем не менее, как показал Оберман (см. ссылку в работе [9]), уравнение (3.14) все-таки можно использовать, выбирая в качестве ре компоненту тензора напряжений в направлении распространения волны, если только фазовая скорость волны V велика по сравнению со скоростями хаотического движения частиц. В этом случае потоки тепла в любом направлении пренебрежимо малы и любая компонента тензора напряжений будет изменяться адиабатически.
Волны в плазме
85
Так как в рассматриваемом случае сжатие одномерно, то y=3, согласно результатам гл. 1, § 4. Пренебрегая членами порядка ItieImi, сравнимыми с уже опущенным членом Vpi, получаем
Vpe = SkTVne = — Va. (3.15)
Если теперь взять дивергенцию от обеих частей уравнения (3.14), а затем с помощью соотношений
(2.15), (2.16) и (3.15) выразить j, E и Vpe через а, то окончательно получим
д2я ' 3A^-v4 (3.16)
dt2 P 1 те
где о)р определяется формулой (3.8). С помощью такого приема исключаются волны, для которых V-J = = 0; соотношение (3.2) выполняется теперь автоматически, так как оно является следствием уравнений
(2.15) и (2.16). Считая, что а изменяется по закону ехр[/(>а — соО], мы находим
О)2 CO2 3kT,
V. = + (3.17)
В предельном случае очень низких температур электронные колебания могут иметь лишь одну частоту о)р независимо от длины волны. Этот результат впервые был получен Тонксом и Ленгмюром [39]. В этом предельном случае электроны колеблются под действием квазиупругой силы, возникающей из-за разделения зарядов; приближенно частоту этих колебаний можно найти с помощью уравнения Пуассона
(2.16) и уравнений движения и непрерывности для электронов.
Чтобы представить фазовую скорость V электронной волны как функцию от и, исключим х2 из равен-ства (3.17). Тогда получим
1 3 kTe
I _ to2/*»2 mt
(3.18)
86
Глава З
Нетрудно заметить, что дисперсионное уравнение для электронных волн в отсутствие В подобно уравнению
(3.7) для электромагнитных волн; роль с теперь играет средняя квадратичная скорость хаотического движения электронов. Так как, по предположению Vi^SkTeIme, то уравнение (3.18) справедливо лишь при значениях со, лежащих близко к <ор; такое ограничение эквивалентно требованию малости дебаевского радиуса по сравнению с длиной волны.
Электронные колебания можно исследовать и с помощью анализа функции распределения скоростей, как это сделано в основополагающих работах Ландау [27] и Бома и Гросса [10]. Эти работы, опирающиеся на уравнение Больцмана, приводят к дисперсионным уравнениям, как правило, не сильно отличающимся от тех, которые получаются из макроскопических уравнений; однако такой микроскопический подход дает ряд новых результатов относительно возбуждения и затухания волн, которые нельзя получить из макроскопических уравнений. Некоторые из этих результатов рассмотрены кратко в § 5 настоящей главы.
