Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Однако, в общем случае, механизм колебаний в волне, распространяющейся в плазме в присутствии магнитного поля, включает в себя как электростатические, так и магнитные силы. Например, высокочастотное возмущение обычно представляет собой сочетание поперечной электромагнитной волны с продольной электростатической волной. В магнитогидродинамической волне электрические силы могут играть такую же роль, как и в волне электростатической. Градиенты плотности также могут приводить к взаимосвязи волн различных типов. Все эти усложнения, разумеется, непосредственно вытекают из основных уравнений гл. 2.
80
Глава З
В настоящей главе мы будем исследовать решение уравнения (3.1), получаемое в предположении, что E изменяется как ехр[/(их — со/)]- Так как основные уравнения линеаризованы, то картину, вызываемую произвольным возмущением, можно получить, исследуя свойства гармонических волн, на которые раскладывается произвольное возмущение. Угловая частота to равна 2nv, где v — обычная частота, а к —волновое число, связанное с длиной волны X соотношением х=2яД. Уравнение (3.1) совместно с другими уравнениями позволяет получить формулу, связывающую х и и. Поскольку фазовая скорость V равна
мы найдем функциональную зависимость между V и со, называемую дисперсионным уравнением. Зная зависимость х от со, можно определить и групповую скорость, равную da/dn.
Знать величину V полезно во многих отношениях. Так, с помощью этой величины можно определить ход преломленного луча в том случае, когда фазовая скорость V является медленно меняющейся функцией координат, так как показатель преломления изменяется как 1/V. Далее от скачка V зависит, какая часть энергии отразится от границы раздела сред. Если фазовая скорость по обе стороны поверхности раздела двух сред имеет значения Vi и V2 соответственно, то для волны, падающей нормально к поверхности, доля отраженной энергии, или коэффициент отражения, определяется формулой
при условии, что амплитуда волны и ее первая производная непрерывны на поверхности раздела (такое допущение обычно справедливо в случае нормального падения волны), и при условии, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Наконец, дисперсионное уравнение позволяет найти расстояние, на
(3.3)
(3.4)
Волны в плазме
81
котором заметно затухают волны заданной частоты. Расстояние, на протяжении которого амплитуда волны уменьшается в е раз, мы обозначим буквой d и будем называть длиной затухания. Тогда
I = /«•=/(?), (3.5)
где 1(х) означает мнимую часть величины х.
§ 1. Электромагнитные волны в отсутствие магнитного поля
В отсутствие тока, когда j и а равны нулю, уравнение (3.1) переходит в обычное волновое уравнение. В плазме величину dj/dt нужно находить из уравнения (2.12). В этом параграфе мы будем считать, что B = O, и рассматривать волны, в которых плотность тока j параллельна фронту волны. Тогда V* j=0, т. е. не происходит накопления заряда, и плотность заряда а равна нулю. В этих условиях давление не будет изменяться в течение периода колебаний и, поскольку невозмущенная плазма предполагается однородной, мы можем всюду пренебречь градиентами давлений Vpe и Vpi. Кроме того, сначала будем считать т]=0, а эффекты, обусловленные сопротивлением, изучим несколько позже. В результате сделанных предположений правая часть уравнения (2.12) будет содержать лишь величину Е. Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси лг; для компоненты Ez мы имеем
д2Ег 4npZe2?z __ 1 д*Ея
дх2 MitneC2 ~ с2 dt2 ’
Для решения вида ехр[г(и* — а>/)] получается следующее дисперсионное уравнение:
V2= , С\, 2 , (3.7)
где «плазменная частота» сор определяется как / 4шее2 у/а Л , 7 те\Ч2
82
Глава З
Членом HieImi обычно пренебрегают, так что численно мы получаем
vp=5=8-97-103^a- (з-9)
Как указывалось выше, существуют две независимые волны электромагнитного типа. При распространении волн в направлении оси х в качестве независимых можно рассматривать либо две плоскополяризован-ные волны, в которых вектор E направлен по оси у или z соответственно, либо две волны, поляризованные по кругу.
Очевидно, что электрическое и магнитное поля в таких волнах имеют такую же структуру, как в вакууме. Электроны колеблются под действием электрического поля, а движение ионов несущественно. Связанные с движением электронов токи изменяют переменное магнитное поле и влияют на величину фазовой скорости волны V. В самом деле, V и и при (о<сор становятся мнимыми и волна не распространяется. Причину такого результата можно выяснить непосредственно из основных уравнений. Как следует из уравнения (2.12), величины <?j/dt и E должны иметь одинаковые знаки и фазы. Поскольку и j, и E зависят от времени по синусоидальному закону, то величины j и dE/dt будут сдвинуты по фазе на 1809. Это означает, что они пропорциональны друг другу, но противоположны по знаку. Следовательно, в уравнении (2.19) ток j противоположен току смещения. При частотах, значительно больших плазменной частоты, ток частиц из-за инерции электронов мал и волна почти не испытывает каких-либо воздействий. При более низких частотах этот ток превысит уменьшающийся ток смещения, так что полный ток сменит знак. Как видно из уравнения (2.19), качественно это эквивалентно замене с мнимым числом.
