Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ьц = bji‘ (5)
Умножим уравнение (2) на а, и воспользуемся соотношением (4). Тогда,
полагая
a iPi~Pi< atqt = Qt, (6)
получаем
Л + ед + 2 bijQj = 0.
В общем случае будем иметь
Л+с,<?, + 2М?;=о (7)
и аналогично
Qt—Qt^t — 2 &i jPj = о* (8)
где J + l.
Из уравнений (7) и (8) находим
2(ЛЛ + <?А) + 2 2 btj(PiQj PjQt) — 0,
/?1 <=l 7=1
причем двойная сумма, согласно свойству (5), равна нулю. Поэтому
2(я?+<$=*2,
1
где k — постоянная.
Последняя зависимость эквивалентна равенству
S'wfrH*’. (в)
280
Глава tS. Вековые неравенства
которое является обобщением интеграла (8) § 13.07. Таким образом,
поскольку п( имеют один и тот же знак при всех значениях /, то величины у
ограничены. Следовательно, наклонности не имеют вековых членов.
§ 13.18. Определение наклонностей
Решение уравнений (7) и (8) § 13.17, очевидно, аналогично решению
уравнений для Н и К, полученному в § 13.11. Пусть
Pt = Ntsin(gt-\-c), Qi = Ni cos (gt-\-с).
Тогда, подставляя выражения для Pt и Qt в уравнения (7) § 13.17 и полагая
/ = 1, 2 п, получаем
(? + Ci)Wi+ ^12^2 + ••• + blnNn = 0,
*21^1 +(^ + ^2)^2 + ••• Н~ b2nN„ = 0,
b,xNx + * + ... + (*+<?„) = О-
Таким образом, g есть решение уравнения
Д = 0, (2)
где
8 Ь\2 Ьи
Ьц g-\-C2 . bin
Ьщ Ьп 2 • 8~\~Сп
Мы покажем теперь, что один из корней уравнения (2) равен нулю.
Умножим первую строку определителя (3) на о^, вторую — на а2 и т. д. и
образуем затем суммы элементов каждого столбца, обозначив их через Xv Х2
Ха. В частности, для первого столбца
будем иметь
X1 = «1 8 + ai^i + 2 ajbjv (4)
/=2
П
Но С, = 2(1. J) и, согласно формуле (4) § 13.17,
/=2
Л
ajCi = 2 bifLj = — 2«/л*
/=2 ' ' i=2 ' '
Поэтому формула (4) принимает вид
§ 13.19. Численные результаты
281
Аналогично для г-го столбца находим, что
X, = *,g-
Поэтому с^Д равно определителю (3), в котором элементы первой строки
заменены на а^, a2g, .... аng. Следовательно, один корень есть g = 0.
Остальные корни определятся из уравнения А] = 0, где
Если g2, g3, .... g„ — ненулевые корни, то общее решение уравнений дается
формулами
/,, = WuS,n<?1+Wa,sln(ft* + *a)+ ... +^sin(^„/-+-cn),
Qs = Nlscoscl-+-N2s cos (g2t-\-cJ-+- ••• + N„ cos (g„t + cn).
Мы можем рассматривать Nn, N2V .... Nnl и с как постоянные
интегрирования.
Метод вычисления постоянных, входящих в общее решение, аналогичен тому,
который был описан в § 13.13 для случая эксцентриситетов. Аналогичное
замечание относится и к решению канонических уравнений, к которым могут
быть приведены уравнения (7) и (8) § 13.17,
§ 13.19. Численные результаты
Очевидно, что получение численного решения задачи о движении планетной
системы в том виде, в котором она нам известна в настоящее время,
является весьма трудоемким делом. Если ограничиться исследованием больших
планет, то для вычисления эксцентриситетов их орбит нужно определить: 1)
девять значений корней g уравнения девятой степени [(6) § 13.11], 2)
значения 18 постоянных интегрирования Ми, с3 и 3) значения остальных
коэффициентов Л1„ (г Ф 1). Уравнения, определяющие наклонности, приводят
к такой же вычислительной работе. В предыдущих параграфах были получены
результаты в случае двух планет (Юпитер и Сатурн). В настоящее время
известно полное решение для случая восьми планет, найденное Сто-
куэллом1), когда Плутон еще не был открыт. Соответствующие основные
результаты даны в приведенной ниже таблице, причем наклонности отнесены к
неизменной плоскости планетной системы. Что касается эксцентриситетов, то
значения корней g уравнения А = 0
д __ ^21 ё + ^2
*) Smithsonian Contributions to Knowledge, Vol. 18, 1873.
282
Г лава 13, Вековые неравенства
лежат в пределах от 0,616 до 22'', 46, если их выразить в секундах дуги.
Соответствующие периоды приближенно равны 2 100 000 и 58000 лет. Периоды
изменения наклонностей имеют тот же порядок.
Таблица
Максимальные и минимальные значения эксцентриситетов и наклонностей
Планета Эксцентриситет Наклонность
макс. мин. макс. мин.
Меркурий 0,2317 0,1215 9°10',7 4°44',4
Венера 0,0706 0,0000 3°16',3 *
Земля 0,0677 0,0000 3°6',0 *
Марс 0,1397 0,0185 5°56',0 *
Юпитер 0,0608 0,0255 0°28',9 0°14',4
Сатурн 0,0843 0,0124 1°0',6 0°47',3
Уран 0.078Q 0,0118 1°7',2 0°54',4
Нептун 0,0145 0,0056 0°47',3 0°33',7
* Эти значения определяются неуверенно ввиду малости некоторых
коэффициентов.
§ 13.20. Долгота в эпоху
Если в уравнении (8) § 5.10 возмущающую функцию R заменить ее
непериодической частью N, то мы получим
с-^_ 2 dN . tg 1C0S ? ON . tg ~2 ON
na да na2 de ' na2 cos </ di ’
где <p = ]/ 1 — e2, или, с достаточной степенью точности,
•______2 dN . е dN . т dN
е па da ' 2па2 de ' 2ла2 dt
Если в это уравнение ввести h, k и р, q, то оно примет вид
2 dN . 1 /. dN , . dN . dN . dN \
e na da 2na2 \ dh dk ^ dp dq )’
Подставим сюда значения Л, k и р, q, полученные в результате решения
дифференциальных уравнений. Тогда последнее уравнение примет вид
г = А -\-^В cos (at -f- р).
§ 13.21. Общие замечания
