Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
wy (1— А2) Д’р’
[(1 -k*)F(k) — E(k)].
(8)
2*
[sSi =
(i)
300 Г лава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
1) По аналогии с формулой (5) § 14.06 W3 выражается формулой
W0 = h?x + тз?у + пз?2'
где 13, т3, п3 — направляющие косинусы нормали к плоскости орбиты планеты
Pt относительно главных осей конуса. Значения этих направляющих косинусов
могут быть легко рассчитаны. При помощи формул (11) § 14.07 и (4) § 14.09
мы будем иметь
wo = ~ij IW* + «зУо^у + • (2)
Здесь g — постоянная, определяемая формулой (2) § 14.07. Кроме того, если
X, Y, Z — координаты планеты Р относительно обычных осей, то
р = X sin Q, sin — К cos 2j sin ix-\-z cos /lt
где 2j, ll — элементы орбиты планеты Pv Поэтому p может быть легко
вычислено для любого момента t. Члены, заключенные в квадратные скобки в
формуле (2), также могут быть вычислены. Поэтому мы можем считать, что
численное значение W70 может быть найдено для любого момента времени t.
2) Рассмотрим подынтегральное выражение W^r sin и в равенстве (1).
Аналитически W3 является, очевидно, функцией М, и поскольку и = «о -J- /
= «о — 2 -j- /, где / — истинная аномалия, то все подынтегральное
выражение может быть представлено в виде функции от Л1, которую мы
обозначим через <]>(Л1) н представим следующим образом:
СО
ф (Л1) = д0-|- 2 (^cossAl + ^sin $М), (3)
5=1
где s — положительное целое число. Отсюда видно, что
2я
= ^ f MWdM
о
и, следовательно, согласно уравнению (1), что
[Й]==—(4)
па? у 1 — е3 sin /
Теперь предположим, что W0 и r sin и, а следовательно, и функция ф (Ж)
вычислены для следующих значений М:
Л 2я 4я 2гтс 2я (J — 1)
’ J ’ 1...... J ......... 7 ’
где j—целое число.
§ 14.10. Вычисление вековых неравенств
301
Пусть фг — значение ф(/И) при /И = 2пс//= Л1Г Кроме того,
пусть s = k-\-qJ, где k — l, 2............j и 0 = 0, 1, 2. Тогда
со j оо
2 Я* COS sMr =22 ak + aJ cos № чЛ Mr
i=l *=1 7=0
Ho cos (ft-|-?./) Ж, = cos &Ж,. и cos (J qj) Mr = 1, поэтому 2 а*со5«Л1,.
= а, + а,у + азу+ ..-4-212 1 cosftAlr =
s i=lL7=0 J
У-1
— a/+ a2/+ a3/+ " * " H~ 2 Лд COS ?Ж ,
J ' *=1
где
00
=9?oa*+^‘
Аналогично мы получаем
У-i
2 bs sin sMr =2 &ь sin kMr
s k=l
Поэтому
1-1
= Лд—J- dj —J- вгу-1- ? • • “I- 2 (•'^a cos kMr —(- В/g sin kMr),
k ~ l
откуда
J-1
2 ^r — Лао-\-а)-\~ау~\~ •..] +
r=0
+
У-1 Г J-1 У-l I
2Mj2 cos^, + S*2 sin ЛА1Г .
*=i L r=u r=о J
*=
Положим теперь a = 2i:k/j. Тогда получим kMr = ra. Пусть
J-л J-1
С = 2 cos га, 5 = 2 sin гл'
о о
Тогда если 1—Y—т0
1-1
= V eir« =
1-е
жгу 1 _
c+is=2e'"=—4=°-
о
Следовательно, С = 5 = 0 и 1-\
2 i = yiao+«y+«2/+ •••!•
г=о 1 J
Если У равно, скажем, 12, то коэффициенты а}, a2j, ... будут малыми
высших порядков относительно величин ей/ (наклонность),
302
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
входящими в выражение для W70r sin«, и ими можно пренебречь. Поэтому ao —
~j H'o+'W + ••• +'V-i]
н, наконец,
_ G___________Ф0 + Ф1 + ---Фу-!
na2 ]Tl — e2 sin / J
Этим и заканчивается наше исследование.
3) Среди многих применений рассматриваемого метода можно отметить
вычисление векового неравенства долготы узла орбиты Лео* ннд, выполненное
Адамсом]) и составившее -|- 28' за промежуток времени в 33 года; при этом
возмущения со стороны Юпитера, Сатурна и Урана разделились следующим
образом: +20', +7' и + 1'. Значение [Q], выведенное из наблюдений, равно
+29'.
Другое важное исследование было выполнено Хиллом 2).
Для ознакомления с дальнейшим развитием этого метода мы отсылаем читателя
к книге Плюммера «Динамическая астрономия» 3).
?) Mon. Not Roy. Astron. Soc., 27, 247 (1867); Collected Works, I, 269
(1896).
3) On Oauss’s method of computing secular perturbations with an
application to the action of Venus on Mercury, Collected Works, II, 1
(1906).
3) H. С. P1 u m m e r, Dynamical Astronomy, 1918, p. 206.
Глава 15
ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ И ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ
§ 15.01. Введение
Проблема, связанная с сопротивлением среды, впервые привлекла внимание
астрономов в связи с особенностями движения кометы Энке. Среднее угловое
движение этой кометы имеет тенденцию к возрастанию, которое нельзя
объяснить возмущениями от планет, вычисленными обычным способом. Энке
предположил, что этот эффект может быть полностью объяснен влиянием
сопротивления вещества, окружающего Солнце. То, что такое вещество
существует, хорошо известно. Это, во-первых, солнечная корона,
простирающаяся на расстояние в несколько радиусов Солнца от его
поверхности, и, во-вторых, более протяженная его оболочка, дающая
„зодиакальный свет“.
Для простоты термин „планета” будет использоваться нами для обозначения
любого члена солнечной системы, движение которого исследуется в настоящей
связи. Влияние сопротивления среды на движение планет будет зависеть от
нескольких факторов: от площади проекции планеты на плоскость,
перпендикулярную направлению ее движения (мы принимаем эту величину
постоянной для рассматриваемой планеты), от скорости планеты v и
