Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Луна — выражения для а, е и у (или т,) были чисто периодическими.
Член at в формуле (1) появляется из непериодической части возмущающей
функции. Поэтому мы исследуем строго решение уравнений, рассматривая лишь
непериодическую часть возмущающей функции и отбрасывая члены, имеющие
порядок относительно эксцентриситетов и наклонностей больший, чем третий.
Прежде всего мы рассмотрим решение в случае двух планет, а затем — в
случае любого числа планет,
§ 13.02. Уравнения движения в случае двух планет
261
§ 13.02. Уравнения движения в случае двух планет
Для планеты Р (масса т) в обозначениях п. (а) § 5.10 мы имеем
ft = 0Sin<o, A = ecosu>, (1)
p = sin/sin2, q = sin/ cos 2, (2)
а для планеты Я, (масса тj) —
A1 = e,sinu)1, As, = в, cos u>lt (3)
/>1 = sin/1sin21, 9, = sin^ cos Q,. (4)
Обозначим через N вековую часть возмущающей функции. Тогда, согласно
формуле (9) § 7.15, будем иметь
N = Gml [4С + (в2+в2) D — 2eexE cos (u> — u>i) — -(T2+T2)D + 2niDcos(2-
Q1)]. (5)
где С, D и E — симметричные функции а и av f = tg/, ^1 = tg/j. Далее,
согласно формуле (7) § 5.10,
д _? 2 dR — Q
па dt
Поэтому а и п в настоящем исследовании являются постоянными. Аналогично
в, и пх — постоянные. Кроме того, С, D и Е будут также постоянными.
Заменяя в уравнениях (13) и (14) § 5.10 Я, на N, мы получим
1
... big-nl
cosy dN - ь 2
_ (ndN I q dN\
na2 dk 1 f na2 cos у \” dp dq )'
j_ cosy dN ht^2l ( dN , dN\ na* dh yna2 cos у I ^ dp ' ^ dq J ’
где cos <p = V1 — e2.
В этих уравнениях члены, содержащие dN/dp и dN/dq по отношению к е и а
следовательно, и к A, k, р и q, на два порядка выше, чем члены,
содержащие dN/dh и dN/dk. Так как мы предполагаем, что е и у—
величины малые и имеют один и тот же порядок малости, то
упомянутыми членами можно пренебречь. Кроме
того, по той же причине можно положить cos<p=l. Тогда эти уравнения
примут вид
L 1 dN : 1 dN
h~ па2 dk' k~ na2 dh ’ ^
Таким же способом мы из уравнений (15) и (16) § 5.10 получаем
1 dN ' 1 dN
262
Глава 18. Вековые неравенства
Кроме того, с рассматриваемой точностью можно написать
/> = Tfsin2, 7 = if cos 2, (8)
sin 2,, qx = ъ cos 2P (9)
При помощи формул (1), (3), (8) и (9) функция N, определяемая равенством
(5), примет вид (если опустить постоянную С)
N = Gmfi [А* + A*+ h\ + k\ - р* - q* — р\ — q\ + 2ррх + 2qq,\ -—
20oti?(AAi + AAi). (10)
Так как D и Е являются симметричными функциями а и а,, то N/щ будет
симметричной функцией а, ах и A, hx\ А, А,; р, />,; q, qv Если Nx
означает непериодическую часть возмущающей функции для планеты Рх,
возмущаемой планетой Р, то
N, __ N m m i
Из уравнений (6) и (10) получаем
h = ^(kD-kxE). А = —^(AD-AA
Аналогично при помощи равенства (И) находим
А, = (A ,D — kE), А, = — (AjD — АЕ).
(И)
Положим
n\ai п\а\
2g«iO р = , (12)
ла* г ла* ' '
2 QmD о 20/л? „оч
ai—р»—' п\а1 п\а\
Тогда эти уравнения примут вид
А = аА — (JAj, A = pAj — ah, (14)
Aj — Aj= pjA atAj. (15)
Точно так же уравнения, содержащие наклонности и долготы узлов, запишутся
в виде
p = a{qx—ti), q = *(p — px), (16)
Pi = <*i(7 — ?i). = — />)• O7)
Заметим, что в формулах (12) и (13) D, Е и п, пх являются
положительными, поэтому а, а, и (), (), будут также все
положи-
тельными.
§ 13.03. Решение уравнений, определяющих h и k
263
§ 13.03. Решение уравнений, определяющих А н А
Приступим к решению уравнений (14) и (15) предыдущего параграфа.
Положим
X = k-\-th,
Л', = А, + /А1, (1)
где /2 ——1. Тогда получим
X—taX = — t$Xv Х1 — /а1ЛТ1 = — §\Х,
или, используя оператор D (=d/dt),
(D — ta)X = — t$Xv (D — /я,) Хх — — t^X.
Применим к первому из этих уравнений оператор D — /яt и воспользуемся
вторым уравнением для исключения Xv В результате получим
X — t(a-\-al)X — (яя,— pp,)A' = 0. (2)
Положим в этом дифференциальном уравнении X = Melte‘+CL Тогда будем иметь
g*~ (*+“l) ? + = 0. (3)
Корни этого уравнения будут действительными, так как его дискриминант
(я -f- я^2 — 4 (яя! — PPj) =s (я — я,)2 -f- 4ЭД,
— положительная величина. Очевидно также, что корни положительны, ибо D2
> Е2 [неравенство (10) § 7.15] или яя, — рр, > 0. что следует из формул
(12) и (13) § 13.02.
Если gx и g2— корни квадратного уравнения (3), то решение
дифференциального уравнения (2) запишется в виде
X = Мхе1^‘+сд-\- M2el{&t+C*K (4)
где Mv М2 и Ср с2 — постоянные интегрирования. Всего постоянных
интегрирования четыре, а не две (как может показаться на первый взгляд),
так как уравнение (2) эквивалентно двум независимым уравнениям для
вещественных переменных А и А, каждое из которых второго порядка.
Приравнивая в выражениях (1) и (4) мнимые и действительные части, мы
получаем
А = Ж, sin (gxt + Cj) + Ж2 sin (g2t -f- c2), (5)
A = Mj cos (gj + Cj) -f- Ж2 cos (g2t + c2). (6)
264
Глава 13. Вековые неравенства
Аналогично для А, и А, находим
вляя выражения (5), (6) и (8) в первое уравнение (14) § 13.02, мы
немедленно получаем
§ 13.04. Вычисление постоянных интегрирования
Численные значения Mv М2, с, и с2 могут быть легко найдены, если для
