Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение, определяющее g', имеет вид
V • dR0 dBi , дА n
Путем рассуждений, применявшихся к формуле (12), мы можем при* вести это
уравнение к виду
g = f(e, G', H')+F(e, G', Н')cosO. (25)
При помощи формулы (15) cos 6 может быть разложен в ряд по
косинусам кратных 90(f-j-c), а используя формулы (18) и (20), можно
привести к такому же виду величины / и F. Уравнение (25) теперь примет
вид
i = /i(«o- *0- То)+2^ («о» ео> То) cos р0о (*-+-<:) =
— go Н~ 2 PSp% cos Р% (t Н- с)* где pgpQ0^Fp. Интегрируя, получаем
g — ig) + go V + с)+ 2 gP sin р\(t + с), (26)
где постоянной интегрирования является (g)-\-g0c.
Аналогично
Л = (А) + А0 V + с)+ 2 sin рВ0 (t + с). (27)
В формулах (24), (26) и (27) все величины 0r, gr, hr (г = 0, 1, 2, ...)
являются функциями а0, е0, т0.
17 V, Смарт
258
Глава 12. Теория Луны Делонэ
Как и в § 12.07, получаем
t = (0 + (* Ч" с) j (4n\t Ч" я') Ч- lp sin />9и (t Ч- с)- (28)
В формулах (28), (26) и (27) I — средняя долгота, g = <o и Л = 2.
Чтобы получить полную сводку основных формул, перепишем равенство (15):
0=Л(* + с)+2 °pSin/>0o(* + c), (29)
где 0О. 0,, —функции а0, е0, т0.
5. Новыми переменными в следующей операции являются
Л, (У, Н'\ X, у. Ч-
Функция Гамильтона R" дается формулой
RT — R' — C-Jfqn^. (30)
Покажем прежде всего, как Л и С преобразуются в функции а0, е0, т0.
Обращаясь к формуле (1) § 12.07, мы имеем
U = ?0Ч~ 2 Apcos/>0o(/-t-c). (31.)
Далее, согласно формуле (15) § 12.09, Л выражается через L0, Lp, 6р так:
л=1о+-г2/^Л- (32)
Но L—Yy.a —IL', и по формуле (19)
а — e0+ 2 Арcosр0о(1 + с).
Поэтому мы можем представить U в виде
L = Lj —(- 2 cos />0о (1 “I- c)t (33)
где
/2 f^o + S 4 cos />6о(t Ч* ОГ = V- («о + 2 АР cos р% (i -f с)].
Выражения Lo и Lp через в0 и Ар легко находятся элементарными методами;
таким образом, Lq\\Lpбудут известными функциями а0, е0, f0.
Далее, формулы (31) и (33) совпадут друг с другом, если мы
предположим, что Lq, Lp выражены через а0, е0, fo* Поэтому фор-
мула (32) примет вид
т. е. Л —функция а0, е0, *j0.
С другой стороны, из формулы (10) § 12.03 имеем
С = Вх A cos 0,
§ 12.17. Практический метод получения решения
259
где А и В— функции а, е и f (или *f,). Следовательно, при t-\--(- с = 0
имеем C = А, а а, е и заменены соответственно вы-
ражениями
во -г 2 Лр. виН“ 2 А* ТоН-2 Гр.
причем два последних выражения следуют из формул (22) и (23). Таким
образом, С также выразится через а0, е0,
Рассмотрим теперь функцию R' в формуле (30). Она является суммой
тригонометрических членов, входящих в состав первоначальной возмущающей
функции, из которых отброшена часть членов, выбранных для первой
операции. R' имеет вид
2 a cos (v+V+V*+?А*-И0-
где коэффициенты А первоначально были функциями а, е, f1, а теперь при
помощи равенств (19), (22) и (23) могут быть представлены в виде
А) Н- 2 °Р cos Р°о (*?+ с)>
где 0О, D0 и Dp — функции а0, е0, *f0.
Как функция новых угловых переменных R' запишется следующим образом:
/?' = _ 2 Л, cos(/'X+j'x + А'т, + q[n,t+q"). (34)
где I', .... q[—не обязательно целые числа, а Л,—функция а0, е0, *f0.
Вторая операция заключается в решении канонических уравнений для Л, О ,
Н'\ X, у, т) с функцией Гамильтона Ro, состоящей из одного из членов
выражения (34) плюс выражение —C-f-gr/t,A, входящее в формулу (30). Таким
образом,
_ / / / Л/
Ro — — Вх — A cos 0 *
где Bi = C — qttiA, а О' — аргумент косинуса в выражении (34).
Решение в этом случае получается тем же самым методом, который был описан
ранее.
17*
Глава 13
ВЕКОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 13.01. Введение
В первых параграфах гл. 6 мы получили решение уравнений движения планет в
первом приближении, рассматривая в возмущающей функции элементы а, е,...
как постоянные. Так, например, для эксцентриситета было получено
выражение
e==e0-f-a/ + n. ч. (1)
Когда мы перешли ко второму приближению, то применили разложение
возмущающей функции в ряд Тейлора, причем в возмущающую функцию вместо е
было подставлено его выражение (1) и аналогичные выражения для других
элементов (при условии, что для большой полуоси а = 0). При этом мы
считали, что at столь мало, что выражением (at)2 можно пренебречь. По
абсолютной величине а является малой величиной, возможно порядка 10-5.
Поэтому законность нашего приема становится необоснованной, если t
принимает настолько большие значения, что величиной (at)2 пренебрегать
уже нельзя. Другими словами, полученное решение фактически может быть
использовано для некоторых ограниченных интервалов времени до и после
выбранной эпохи.
Если мы предположим, что at мало, то аналитически вековой член мог бы
быть заменен, не изменяя точности решения, функцией sina/, период которой
равен 2ic/a. Поэтому можно предположить, что появление векового члена в
формуле (1), возможно, является результатом метода, с помощью которого
это решение было получено, и что возмущения в е, а также в а и у имеют
чисто периодический характер. Это предположение подкрепляется
результатами предыдущей главы, где в задаче трех тел — Солнце, Земля и
