Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
что в них отсутствуют постоянные члены (эти члены пропадают при
дифференцировании U и Г), и, во-вторых, тем, что в них опущен множитель
т.
§ 8.06. Канонические уравнения Гамильтона
169
Следует заметить, что один интеграл уравнений (5) и (6) может быть
получен весьма просто: умножим первое уравнение на ?’, второе— на т] и
сложим. После интегрирования ми получим
\ & + Г,2) —5 я*(;2 + Г,2) = ОМ (-1. + -1.) + const.
(9>
Это последнее равенство представляет собой интеграл энергии в обобщенных
координатах ? и tj.
§ 8.06. Канонические уравнения Гамильтона
Проделаем теперь следующую замену переменных. Пусть
„ USatM, (1)
дч,
где /=1, 2 к. Величины р называются обобщенными импульсами или просто
импульсами. Тогда на основании формулы (4) § 8.03 р{ есть линейная
функция величин q, которую мы можем записать в виде
Pi ~ ail4l + а/2?2 + • • • + 0(кЯк + ci• (2)
Здесь величины а и ct являются вообще функциями величин q н t,
причем эти функции бывают известны в любой данной задаче. Так как имеется
k уравнений вида (2), то они в принципе могут быть разрешены относительно
величин q, т. е. дают возможность выразить все q через k величин р и
коэффициенты а и с. Мы можем записать это решение символически в виде
4i = 4i(.4< Р< 0. (3)
причем правая часть, как легко видеть, является линейной
функцией
импульсов р. Посредством формулы (3) функция T(q, q, t) может быть теперь
преобразована в функцию от q, р, t.
Для того чтобы различать две формы, в которых можно представить функцию
кинетической энергии, мы используем для нее обозначение Т в том случае,
когда она выражена через q, q, t, и обозначение f, когда она выражена
через q, р, t.
Пусть величины q и q получили малые произвольные независимые
приращения lq( и (/ = 1, 2............к). Тогда, применяя формулу
(5)
§ 8.02, будем иметь
к
jj. V* / дТ , дТ
170
Глава 8. Канонические уравнения
или, согласно формуле (1),
<4>
Далее, из формулы (5) § 8.03 мы видим, что Т можно представить в виде
Г = Г2 + Г1 + Г0, (5)
где Г2 — однородная квадратичная функция производных q, Г, — одно* родная
линейная функция q, Т0 — функция q н t. Согласно теореме Эйлера, имеем
r.-s
Складывая эти два равенства, получаем
так как Та не зависит от q. Тогда, учитывая формулу (1), можем записать
к
2 r2+r, = 2m- (6)
Возвращаясь к формуле (2), мы видим, что ее правая часть является
функцией q, q, t. Поэтому независимым вариациям bq и b'q будут
соответствовать вариации bpt импульсов pt, определяемые формулой
^Pi = 2 (Atj bqj), (7)
где в общем случае А и В — функции q, q, t, или, согласно
равенствам (3), функции от q, р, t.
Число уравнений (7) равно к. Поэтому они могут быть раз-
решены относительно вариаций bq. Это даст
&4i — 2 (Сц fyj -\~Dij %Pj)> (8)
где С и D — функции q, q, t или q, р, t.
Первоначально мы рассматривали bq и bq как независимые вариации. Но ясно,
что в качестве независимых вариаций мы можем рассматривать также bq и Ьр,
а вариации bq будут определяться при этом
§ 8.06. Канонические уравнения Гамильтона
171
формулой (8). Кроме того, вариация функции не зависит от того, через
какую пару переменных она выражена: q, q или q. p.
Далее из равенства (6) будем иметь
28Т2 -f- 87^ = 2 4i ^Pi ~Ь 2 Pi
а из формулы (5) с учетом выражения (1) находим
ЬТ=8Т2 + 8Г, + ^0 = S1^-+ S Pi bii-
Вычитая эти равенства друг из друга и полагая
Т* = Т2 — Т0. (9)
получаем
= 0°)
Теперь функцию Т*, зависящую от q, q, t, можно при помощи формулы (3)
выразить через q. р, t. Мы получим
8Г = % -dr fpP'° ЬЯ1- (11)
Мы теперь имеем для ЬТ* два выражения —(10) и (11). Они дол-
жны быть одинаковыми, и, следовательно, приравнивая коэффициенты при Ьр и
8<7, которые являются независимыми, мы получим
?Я1=»1^л (12)
дТ _ дТ* (q, р, t) dq{ dqt
(13)
Второе из равенств (13) замечательное. Перепишем его подробнее:
дТ (q, q, t) _ д [Tt (q, p, t) — T0 (q, p, <)]
dqt dqt
Заметим, что,_хотя T2 и есть однородная квадратичная функция производных
q, T(q, р, Т) не является в общем случае однородной квадратичной функцией
импульсов р.
Пусть
Н =Т* — U = Т2 — Т0 — U. (14)
Тогда И будет функцией от q, р, t. Она называется функцией Гамильтона.
172
Глава 8. Канонические уравнений
Так как U не содержит q и, следовательно, не содержит р, то формула (12)
принимает вид
(15)
С другой стороны, согласно формуле (1), имеем
д I дТ\
Pi *(ч)'
Последнее уравнение при помощи формулы Лагранжа (8) § 8.04 принимает вид
• _ дТ , дЦ Pi dq, dq,
или, согласно формуле (13),
• дТ* . дЦ
Р> dq, dq, '
Поэтому при помощи формулы (14) получаем
««»
Из § 8.04 следует, что каждое из уравнений Лагранжа имеет второй порядок,
так же как и уравнения (1) § 8.04, записанные в прямоугольных
координатах. Прием, использованный в этом пара* графе, позволяет заменить
q новыми переменными р, в результате чего k уравнений Лагранжа второго
порядка заменяются 2k уравне-ниями (15) и (16) первого порядка. Перепишем
для удобства эти уравнения в виде
•_dH{q,p,t) •_ dH(q,p,t) ....
