Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
-*r = 2B/'—jB.4 (6)
Из формул (3) и (4) следует, что коэффициент при е2/&а (и при
е2/&а) в выражении (2) равен а В*/», а из формул (5) и (6) — что
коэффициент при еех/4а равен—аВ%\ Из равенства (3) видно, что коэффициент
при — f2/8a представляет выражение
(1 -j- a2) Bj!’ — аВ*1 — в'1*.
154
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Но из формул (9) и (10) § 7.12 имеем
(\ + а*)В$-2аВ'!>
0 (l_oS)S ’
0>А 2^-0 +а2) в'(‘
1 “ (1— а*)*
Отсюда
(l+a2)Bd» —2aBl/j = Bh
Следовательно, коэффициент при — f2/8а в формуле (2) равен аВУ1, а
равенство (3) показывает, что коэффициент при —fj/8a также
равен аВ'!’.
Подставляя эти величины в формулу (2), мы найдем, что непериодические
члены N возмущающей функции выражаются формулой
N = "ТЕГ1 [Ч aBi’ \? “Ь ei — Т2 — Т? -h 2TTicos (2 — 2i)] —
— 2а.ее\В%1 cos (w— Wj)}. (7)
Так как а = а1/а, то формула (1) § 7.11 может быть записана в виде
1C
D’ _ 2 С C0S П<? d<f
* j (a2-2™, cos <? + <,*)* *
Этот интеграл является функцией, симметричной относительно а и ау Запишем
его в виде (те/2)Р5п. Тогда
и
1 дУ» ^ p'/s С
-Jp°=с'
?B'/'=^aa,Pi'=D. (8)
3-B'i-='TaaA-=E.
где С, D и Е—симметричные функции а и Мы можем теперь записать N
следующим образом:
M = Gml [4С-f- [е2-f- е\ — f2 — f22ff j cos (Q — 2j)] D —
— 2ee1?cos(a) — to,)}. (9)
§ 7.16. Доказательство периодичности членов Gm,r cos S/r\
155
Это выражение N нам потребуется в гл. 13. Нам потребуется также
неравенство D > Е, которое может быть получено следующим образом. Из
формулы (9) § 7.12 имеем
(1 — а2)2 (В*/. — В^) = 3(1 а2) В'{> — [6а + 5(1 + а2)] Bj> + 10а^.
Положив в формуле (4) § 7.12 л = 3 и s = l/2, найдем выражение
для В'з и подставим его в последнее равенство. Тогда его пра-
вая часть приведется к выражению
Z(\-a.f{B't + Bf),
которое является положительной величиной, ибо все В — положительны.
Поэтому B*i‘ > fljf*. т. е., согласно формулам (8),
D>E. (10)
§ 7.16. Доказательство того, что
часть Om,r cos S/r2 возмущающей функции содержит только периодические
члены
Во всех разложениях возмущающей функции, которые мы до сих пор получили,
среди членов второй части функции R до второго порядка относительно
эксцентриситетов и наклонностей включительно отсутствуют непериодические
слагаемые. В теории движения планет непериодические члены представлены
формулой (7) § 7.15 для N. Мы теперь покажем, что это частное свойство
является общим; другими словами, оно является верным независимо от того,
какого бы рорядка члены разложения R мы ни рассматривали. Для простоты в
обозначениях формулы (9) § 1.07 напишем
= (1)
Л
где S — угол между радиусами-векторами двух планет.
Формулы предыдущих параграфов показывают, что R' может быть разложена в
ряд вида
Я'=2 2 IеР, q cos (PM -f- qMj + Sp> sin (рМ + qMx)\, (2) p я
в котором M и Afj — средние аномалии, коэффициенты С и S не зависят от М
и Mv а являются функциями а, е, 1, 2, ш и соответствующих элементов
возмущающей планеты, q — положительные и
отрицательные целые числа, включая и нуль, а р (без
ограничения
общности) — положительные целые числа или нуль. Непериодическая часть в
формуле (2) равна C0i0.
156
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Рассматривая М и М: как независимые переменные, мы из равенства (2)
немедленно получаем
2ic
J /?' rfiWj = 2ic ^ (CPi 0 cos pM Sp> о sin pM). (3)
О Р
Далее, для возмущающей планеты имеем
Г2/, = Л, = ntf >^1— е\ == пхс. или так как М^ — п^, то
cdMx
aj\~—— •
r\
Поэтому из равенства (1) находим
2* 2*
J cos Sdfv (4)
о о
Пусть на рис. 18 А1ВР1— большой круг с центром в Солнце, по которому
плоскость орбиты планеты Рх пересекается с небесной
сферой и пусть Ах — перигелий, так что АХРХ = /,. Пусть далее а, р суть
координаты планеты Р относительно AXBPV Тогда PPl=S, BPl = fl — а и ВР =
р. Следовательно,
cos 5 = cos р cos (/, — а),
и так как а и р не зависят от положения Pv то 2* 2*
J cosS= cosр J cos(/,—a)df1 = 0.
§ 7.17. Замечания относительно разложения возмущающей функции 157
Поэтому из равенств (3) и (4) будем иметь
2 (Ср> о cos рМ + 5р, о sin рМ) = 0.
р
Последнее равенство справедливо при любом М\ поэтому для всех значений р
имеем
Ср, о — $р, о == 0- (5)
В частности,
Со, о= So. о=
а это равносильно утверждению, что R' не содержит непериодических членов.
2л
Очевидно, что если бы мы вычислили интеграл J* R' dM, вхо-
0
дящий в равенство (3), то мы пришли бы к результату, аналогичному
равенству (5), именно
Со, q = So, q = 0. (6)
Равенства (5) и (6) показывают, что общее разложение R' дается формулой
(2), где q— положительное или отрицательное целое число, р —
положительное целое число, причем нулевые значения р и q исключаются.
§ 7.17. Общие замечания относительно разложения возмущающей функции
Если возмущающая функция разложена в периодический ряд относительно
времени как независимой переменной, то рассуждения, приведенные на
предыдущих страницах, показывают, что общий член этого ряда имеет вид
С cos (1М -}- ixMx —)- JQ —)- _/Qj —)- ks> -|- Ajujj), (1)
