Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
2s (cos <р — a) 1 dB30 dBsn
-------------------— =-- -4- V —- cos nv.
(1—2o cos 9 + а*)5+ 2 da мЛ da
$ 7.13. Производные от Bsn по а
149
Продифференцировав по а вторично, будем иметь
4s (s +1) (соз у — a)a — 2s (1 — 2а cos у + «8) _
(1 — 2а cos у + а8)*+2
1 , V d2B*n.....
— 2 da? лЛ da? cos nc?‘ (3)
1
Левая часть этого равенства может быть записана в виде
2s(2s + l) 4s(s-j-l)slnaq>
?)?»+* 0*+2
Первый член выражения (4) равен
2а (2а + 1) ^ Bs0+1 + % Bs„+1 cos л? j.
(4)
(3)
Продифференцировав выражение
D'4"1 в j Bj+1 + f| Bj+‘ соз щ 1
по <р, получим
Умножим обе части этого равенства на sin <р и выразим sinn<p-sin<p через
разность двух косинусов. Тогда второй член в формуле (4) примет вид 00
— “ 2 яЯГ1 [COS (Л — 1) <р — COS (Л Н- 1) <р]
или
- 4 ? [<«+ 0 ЯЯ - (Я -1) ЯЕЧ COS л<р. (6)
1
Поэтому, приравнивая в формуле (3) коэффициенты при cos лер и используя
формулы (5) и (6), мы получаем
= 2а (2а + D «+1 -1 [(я+ 1) В*я\\ - (л -1) Я#]. (7)
Легко видеть, что эта формула имеет силу также и при л = 0.
150
Глава 7. Разложение возмущающей функции
§ 7.14. Разложение функции R
Члены нулевого порядка в разложении (4) § 7.09 для R даются формулой
/?„ _1 acos у ...
От, “ Д0 а\ ( )
Разлагая l/A0=(aD)-l/il в ряд и полагая а = а1/а, мы для этих членов
получим
+ i (В'11 - cos <? + j 2 B'l‘ cos жр. (2)
П* 2
Для членов первого и второго порядков нам потребуется dRJda и т. д.
Из формулы (1), опуская временно множитель l/Gmv имеем dRa д I 1 \
1
да —' аД Д0) a* C0S<t’
dR0 д / 1 \ , 2а —- =---| — 1 Н-5- COS <Р
«ММ «?
И
dR0 д / 1 \ . а ,
а<? ~ а? (д0) а\s п<р*
Рассмотрим сначала (д/дв)(1/А0). Прежде всего имеем
Коэффициенты В являются функциями ase,/a. Поэтому
лз1
Следовательно,
dRQ 1 , dB'fr\ i/i у ав'{Л
2л*” \ + a~arj — + +a-aHC0S,,—
да 2л*
+а^-)С08Я?‘
я»2
Аналогично
ая0 1 dBf , 1 / 2 , \ 1 n dB'L*
§ 7.14. Разложение функции R
151
1 (пМ , Л *В$ , , \ ,
да2 — 2а3 \ 0 +4я da +а da2 / +
1 v, / v dB'l> d2Bf \
+у S (2В“ +41-if+,г t ) “s »?•
Я=1
д2Л0 1 d2*# 1 /6 d2B'b\ 1 v d2*#
~daf~ 2a3 da2 a3 Va4 ^a2 JC0S:?+ a3 2 rfa2 C0Sft?’
1 /2 = 2
<э2л» 1/1 1 _
df1 d2R0 Л \
да да.
+ ?
d2R0 1
dadf в2
+
d2Ro
n=2
1 (2 dB'o/‘ I x*2**) I
2as \ da da2 /
1 / 2 dS'/> d2S'/J \
—2 “"d?*-/ cos?~
1 v / dS^* d2S^« \
а5"]*] \2 ~1ПГ a~da*~/ cosn<f‘
n=2
/ 1 dB'b \
(^r + 5,/’+a-5i-)sin<p +
^-ftа-^L)Sin't<?•
л=2
1 / 2 dB^ \ 1 v, dB'l*
PT + sincp--^ ^ » -й-sin»?.
da, df
л =2
Поскольку значения и, uv .... u,v найдены в § 7.09, мы теперь можем
представить аи{д^да) а,иху{д2^дад^) в виде периодических рядов вплоть до
членов второго порядка относительно малых величин е, 7 и ], и с
достаточной степенью точности относительно а. Степень точности зависит от
численного значения этой величины.
Рассмотрим теперь члены в возмущающей функции, содержащие г, zv Эти
члены, согласно формуле (7) § 7.09, таковы:
1 (z— z^2 zzx 3 лг2
2 д! оТ-*” 2”аГ
Первый член равен
152
Г лава 7. Разложение возмущающей функции
и если вместо (г — г})2 подставить его выражение из формулы (23) § 7.09,
а произведения косинусов преобразовать в суммы косинусов, то в результате
получим
— 8^(Т2 + з2Т?) + ? TTifii2 cos (2 — 2t) (4)
плюс различные периодические члены.
Второе слагаемое в формуле (3) дает члены
— ? aTTi [c°s (<р — 2 + 2i) — cos (т) + т),)], (5)
а третье слагаемое в этой формуле — члены Зт2
-g^ [2 cos tp — cos (ср — 2t)j) — cos (ср + 27j,)l. (6)
§ 7.16. Непериодические члены N возмущающей функции
Ва киую часть разложения R составляют непериодические члены *). Обозначим
эти члены через N.
Члены нулевого порядка — формула (2) § 7.14 — и члены, которые
включают в себя координаты z, zv т. е. формулы (4) — (6)
§ 7.14, дадут в N/Gntj следующие слагаемые:
Та В°’ “ ? (T2 + aV) fidf* + ? TTifii2 cos (2 - 2,). (1)
Непериодическими членами, происходящими от аи
(dRJda).....................
являются:
*) Автор называет .непериодическими* такие члены разложения возмущающей
функции, которые не содержат множителями тригонометрических функций
средних аномалий возмущающего и возмущаемого тел. Заметим, что в
современной литературе по небесной механике такие члены чаще называются
.вековыми*. — Прим. ред.
§ 7.15. Непериодические члены N возмущающей функции
153
аи
d2R0 ее, ( 2 л dBf , d2Bf \ .. «.
a'U'~5aWx'- ~4a\~Zr~ ^fc * —^5— J cos(«» «>1).
d2R ее ( 1 ,, dB’{> \
au 1 ®-щ?: ~ щ-1V + B{’ +aST) C0Sl(“ —“!>•
d2R aee, I 2 dBl(‘ \ „ ~
\-3- + -з;-]С05(® — ®1)-
a-,u, • v -г—T- . -H-‘ 1 dat d<? 2a
Объединив все эти члены, мы будем иметь
dB$ . d*B'l'
_______________Я7« _J f»i 1 л* Л I О»
Gm
N 1 ,, 1 „ / 4Я{» „ <ГВУ* \
7ЙГГ = 12a 5°J + 8a (* + *0 \2a ~dT~ a ) +
+? (2S* -2* т - т) “s ~ -
- ? (*° -я—#) - ? («#+ ?-w) ?+
+ ^L^cos(2~2,). (2)
Приступим теперь к упрощению выражения (2). Полагая /1 = 0, s = i/2 в
формулах (1) § 7.13 и (7) § 7.13, мы получаем
dB$ „ „
= (3)
= 2 яУ*-1дУ*. (4)
Аналогично, полагая й = 1, s=V2 в тех же равенствах, мы будем иметь
(5)
