Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
(11) § 7.06. Выражение для X, дается аналогичной формулой. Тогда а (=Х—
Xj) определяется по формуле
о = nt -f- е — (nxt -)- ?j) -f- 2e sin M — 2ex sin Mx -+?
+ -|-e2sln2M — -j ?2sin2Af, — ^ ?2sin 2r)-(- •^-72sin2Y|1. (2)
3) Так как z = rsin0, то можно написать
z = г sin / • sin (L — 2).
Далее, так как R, согласно формуле (4) § 7.07, содержит только z2, zzx и
г2, то нам нужно найти выражение для z только до членов первого порядка
включительно. Поэтому
z = a7sin7|. (3)
Аналогично
z, = aiTiSin7jj. (4)
§ 7.09. Метод разложения Й
141
§ 7.09. Метод разложения R
Мы положим
где >)
р = а(1 + и), р! = в! (1 -h «0. в = <р + 1».
? = я/ + е — (л^ + е,).
(3)
(1)
(2)
Из формул (1) и (2) предыдущего параграфа следует, что и, ut и v — все
величины первого порядка малости. Фактические выра-жения для и, ир v
через е, et, 7 и 7, могут быть получены из этих двух только что
упомянутых формул.
Согласно формуле (4) § 7.07, R есть функция р, рр о, г и аг,; и если мы
обозначим через R0 такое значение возмущающей функции, которое она
принимает при нулевых значениях и, uv v, г и zv то из равенств (1)
получим, например,
где (dR/dpi) означает величину производной dR/др при нулевых значениях и,
Up V, z и zv Аналогично
Разлагая R в ряд Тейлора, мы с точностью до ма.:ых величин второго
порядка будем иметь
') В теории Луны, как видно из формулы (16) § 7.06, вместо <р была
принята величина ».
(dR\_ дй( \ д( ) да
да ’
о
и т. д.
(4)
плюс члены, зависящие от z и Zy При этом
/?0 _1 дсозу
G/и, Д0 в‘.
a cos у
(5)
(6)
142
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Члены в R/Gmlt зависящие от г и z,, имеют второй порядок и на основании
формулы (4) § 7.07 они могут быть теперь записаны в виде
1 (г-г,)2 ", ( 3 аг\cos<р
2 Aq «? 2 aj ' (7)
Разложим 1/Д0 [первый член в формуле (5)] в ряд Фурье:
00
cosn'P- (8)
Я*1
Аналогично множитель 1/До. входящий в первый член формулы (7), будет
представлен рядом вида
00
7Со+SC"C0Srt<p* (9)
Л«1
Далее, если мы, например, найдем dR^da и d^RfJda2, то мы получим
выражения, содержащие 1/До и 1/До- Кроме того, из формул (4) и (6)
следует, что, если нам потребуется разложение для R до порядка выше
второго, мы будем иметь члены, содержащие множители 1/До, 1/До
и т. д., которые могут быть представлены рядами
вида (8) или (9).
Мы будем считать, что а > а, и положим
3— (10)
и
D— 1—2я cos <р + а2. (11)
Тогда
1111 /Л ОЛ
— ==—ГТГ • —г = ? я И т- д- (12)
Д0 aD>* Д§ azDli
Будет полезно получить разложение функции (1 — 2а cos <р а2)-*,
где s имеет вид «-j-1/*. причем п — положительное целое число, включая и
нуль.
Перед тем как заняться в следующем параграфе этой частной задачей, мы
приведем с точностью до членов второго порядка разложения для величин и,
л,. V, и2, ..., e,v. входящих в качестве
§ 7.10. Разложение (1 — 2а cos ср + аг)~*
143
множителей в разложение (4) для R. Эти разложения имеют вид
и = — е cos М 4--g- е2— -i-72— e2cos 2Л4 4--i- f2 cos 2к], (13)
«1 = — е\ cos Mi -f-е\ — f2 — у е2 cos 2Л1, 4-~ f2 cos 2^, (14)
a2 = i e2 + Ye2cos2Al, (15)
U2 = I e2 + ^^cos244lt (16)
uux =iee1cos('f —oj + fi,) -f- 005(44 + 44,), (17)
v — 2e sin M — 2ex sin Ж, 4- -j e2sin 2M — г2 sin 244j —
— -if2sin2r) + if2sin2Yj1, (18)
uv = — e2sin2Al — ee,sin(cp— <5 + ее, 510(414-41!), (19)
u^v = e2 sin 2Afj — eex sin (cp — <54- ®i) — eex sin (M 4- Л1,) (20)
и далее
z\=Tab\-ja\ficos2\> (21)
«i = 7eeini cos(<p — Q4-Qi) — -i ca,fficos(^ + ^i). (22)
(z — zxf = - a2f2 4- ^ a2f2 — Y a2K2 cos 2 rx — I a2f2 cos 2^. (23)
Подставляя эти выражения в формулу (4) и предполагая, что величины
<W?„ _?/?»
да ' ‘ * ’
разложены в периодические относительно ср ряды, мы путем перемножения
таких величин, как и и dR0/da, получим разложение R в виде периодического
ряда до второго порядка малости относительно эксцентриситетов и
наклонностей.
§ 7.10. Разложение (I — 2*cos?4-*2)~*
Пусть z = e!K Тогда 2cos<p = z4-2~1 и
?> = (1 — az)(l — аг"1), (1)
144
Г лава 7. Разложение возмущающей функции
поэтому
D~' = (l — 2а cos? + a2)-;t = (l — a2r)-;t(l — *лг-1)~' =
= [l + suz + -S(S +1} а2г2+-^-+13),(5 + 2) „»*»+ ...]x X[l+^-' + ii^)a2z-
2+i<ii^i+l)a32--3+ ...] (2)
или
где
D-s = \Bl + ^Bsn{zn + z-n). (3)
П- 1
1 nS «I 2 2 j [S (S —|— 1)]* 4 I /Л4
у Bo — 1+sa -|--------------------------^2l)s--------a -f- ... (4)
1 gs _ s(s + l) ••• (* + « —1) „ 4,
2 an— л| «X
Г. | * . * + n g2 | »(«+!) (» + «)(» + « + !) -4 | 1
XL «+1 “ + 1-2 (л4-1)(л4-2) “+•••]• (о)
Так как a < 1, то ясно, что ряды (4) и (5) сходятся.
Очевидно, что равенство (3) может быть записано в виде
ОО
d"==t 2 B"z"' (6>
п = -оо
где п принимает все целые положительные и отрицательные значения, включая
и нуль. Также очевидно, что
Из равенства (3) мы имеем
ОО
= cos п(?) Л= 1
а это и является требуемым разложением.
Коэффициенты В% называются коэффициентами Лапласа. Из формулы (5) видно,
что все они положительны.
Разложение (5) можно записать в виде
1д..»(» + 1)-.(»+,?-1) anF(s, s + n. я+1; а2). (8)
