Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Е — е sin Е — М = п (t — т). (4)
Формула (1) выражает г через истинную аномалию /, а формула (3) — через
эксцентрическую аномалию Е. Уравнение Кеплера (4) дает возможность
выразить Е через среднюю аномалию М. Чтобы выразить некоторую функцию
<|>(г, /) непосредственно через среднюю аномалию, т. е. по существу через
t, мы используем тот факт, что обычно в теориях планет и спутников
эксцентриситет е мал, и, следовательно, мы можем разложить <[»(/•, /) в
периодический ряд по степени е. Этот процесс разложения обычно состоит из
двух частей. Сначала ф (г, /) разлагается в ряд вида 00
2 (Ап cos пЕ-(- Ва sin лЕ),
л=0
коэффициенты которого обычно являются рядами по степеням е. Затем cos пЕ
и slnnE разлагаются соответственно в периодические ряды вида
«0+«1 cos М -(- а2 cos 2Л1 + ...
и
^1sinM + ^2sin2M+ ....
§ 3.02. Ряд Лагранжа
43
причем коэффициенты а и b обычно также являются рядами по степеням е.
Перед тем как перейти к разложению в ряды, мы посвятим ближайшие три
параграфа рассмотрению ряда Лагранжа, функций Бесселя и
гипергеометрического ряда, которые будут использованы в дальнейшем.
§ 3.02. Ряд Лагранжа
Рассмотрим соотношение между хну, выражаемое формулой
в которой <р — заданная функция, а — малый параметр, под которым в
будущем будем понимать е/2. Теорема Лагранжа состоит в том, что функция
F(y) может быть разложена в ряд по степеням а следующим образом:
где Fx = F(x) и <р^ = <р (jc). При этом предполагается, что <р, F и их
производные являются непрерывными функциями.
Рассматривая формулу (1) как уравнение относительно у, мы в принципе
можем выразить у через а и х; например, если пренебречь а2, то мы получим
приближенно у = х + а<р (*). Предположим теперь, что y — f(a,x) есть
решение уравнения (1). Тогда F(y) может быть выражена через а и х, и
применение теоремы Маклорена дает
где индекс .нуль* означает, что после дифференцирования нужно положить а
= 0.
Пусть А означает оператор д/да; тогда предыдущее разложение примет вид
^GO^^jr+yf (•d/Oo+'gy (i42f)o+ ... +-yjrG4'’f’)0+ .... (3)
(1)
(2)
Из формулы (1) также следует
Лу = ср(У)+а-^- лу.
(4)
44
Глава S. Разложения функций в эллиптическом движении
Пусть D означает оператор д/дх. Тогда из формулы (1) имеем
?>У=1 +a-0Dy. (5)
Умножим уравнение (5) на 9 (у) и вычтем из уравнения (4); тогда (Лу—
Dy)(l — a^) = 0.
Однако
1—а^-ФО, ибо если 1—а-0- = О,
то ас? = у-f-const, что противоречит уравнению (1), в котором, по
предположению, 9— произвольная функция от у. Следовательно,
Лу = 9 ?>у. (6)
Равенство (6) является соотношением между операторами Л и D,
совместимое с уравнением (1).
С другой стороны, при помощи равенства (6) находим
= § Dy.
Поэтому
AF = 9 DF. (7)
Докажем теперь справедливость следующей формулы:
A"F = D"-1 (сря DF). (8)
Предположим, что она верна и применим к ней оператор Л.
Тогда,
так как а и х являются независимыми, а поэтому операторы Л и D
также будут независимыми, подчиненными закону коммутативности, то мы
получим
An+iF = [f~l {Л («р" /)/=•)}.
Далее, используя равенство (6), будем иметь
Л (<?" DF) = DF • Л (t?n) + ?"•?> (AF) ==
= DF • срD (сря) + <рп • D (AF) —
— 9 DF • D(9Я)+9Л • D(9DF) —
= D(<fn+l DF).
Поэтому
An+1F = Dn(<?n+lDF).
§ 3.03. Функции Бесселя
45
Следовательно, если формула (8) верна при некотором п, то она будет также
верна и при замене п на я+1. Но эта формула справедлива при я — 1, так
как она тогда приводится к формуле (7); следовательно, формула (8)
справедлива при любом я.
Теперь, если перейти к производным, то формула (8) примет вид
д<хп дхV дх)
Следовательно,
V I, а**-1 V' Иг I
Подставляя последнее равенство в разложение (3), мы видим, что теорема,
выражаемая формулой (2), доказана.
Предыдущее доказательство формулы (2) заимствовано из «Теории планет»
Брауна и Шука ’). Этими авторами дано также некоторое обобщение этой
теоремы.
§ 3.03. Функции Бесселя
Рассмотрим выражение
U 5=*
или
°о (—\Я гп СО (_-L\m z-m
и = yliii. yi—
л=0 т=0
Пусть Jp(x) означает коэффициент при zp ряда, полученного
перемножением рядов в формуле (2). Тогда имеем
U = z-\-J?(x) z2-\- ... +
J-\(х) z~lJ z~2... (3)
или
ОО
?/=2 J„(x)zn. (4)
/1= -СО
Из формулы (2) легко увидеть, что
/ />\— (?х/2)п Г. (х/2)2 .__________(х/2)*____ 1 .д.
п I L1 1(« + 1) 1-2 •(«+!)• (л + 2) — •' 'J' W
') Е. W. Brown, С. A. Shook, Planetary Theory, 1933, p. 37.
46
Глава $. Разложения функций в зллиптическом движении
Функция Jn(x) называется функцией Бесселя первого рода порядка п.
Приступим к выводу некоторых соотношений между функциями Бесселя.
1) Из формулы (1) видно, что U остается неизменной, если вместо г
написать — г~1. Следовательно, из разложения (3) находим
U = J^x) — J^x)z~ Ч-У2(д:)г-2— ... —
— y_j (jc) гг —|— (jc) гг2— .... (6)
Сравнивая ряды (3) и (6), получаем
•^—1 (Jf) J j (Х)\ J—2 (х) — (x)l ...
и вообще
J.n(x) = (-l)nJn(x). (7)
2) Из равенства (1) имеем
а из формулы (4) находим
00 00
2 nJa(x)z-' = 2 (л + 1)Л+,(*)г\
Л« — ОО /|а-00
