Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
системе л материальных точек, необходимую для приведения системы из
состояния, при котором все эти точки бесконечно
§ 4.02. Интерпретация U
67
удалены друг от друга, к той конфигурации, которую образуют точки
Pt(Xi, Тц, С/) (/= 1, 2, 3 я) в момент /. Кроме того, мы введем
определение потенциальной энергии системы, согласно которому она равна —
U.
Предположим, что масса тх закреплена в точке Р, и что масса т2 под
действием силы притяжения к /и, переходит из положения А в положение В,
причем все остальные массы находятся на бесконечном расстоянии. Пусть X,
Y, Z — составляющие силы, действующей на материальную точку т2,
координаты которой для простоты обозначим через (5, у), С); если U2—
силовая функция, связанная с массами т1 и т2, то
у ди2 1г 0U2 у ___ dU2 ...
di ' <^Г ’ <*Г’
где
Un==GmJm1> (2)
“12
Работа, проделанная при движении /я2 из положения А в положение В под
действием притяжения массы /я,, равна
в
J
А
или, согласно формулам (1), в
Пди2 .. , Шг . . ди2 ,г\
-дГ^+-?Гаг1 + -0СЛ)-
А
Так как U2 — функция от rt, С (координаты /я, являются фиксированными),
то проделанная работа будет равна (U2)B — (U2)A. Если точка А бесконечно
удалена от точки Pv то, согласно формуле (2), (?/2)д = 0. Следовательно,
если под В понимать точку Р2. то работа, проделанная при движении т2 из
бесконечности до Р2 под действием притяжения массы /я,, равна U2, где U2
дается формулой (2).
Рассмотрим теперь работу, которую производят силы притяжения массы т3 к
массам тх и т2 (теперь предполагается, что обе эти массы находятся в
фиксированных положениях) при перемещении т3 из бесконечности в точку Р3.
Составляющая силы притяжения по оси ? (? теперь обозначает координату 5
точки Р3) равна
п д (т,т3 , mtm3\ и дЦ ' Д|3 Д2, )
и, повторяя предыдущие рассуждения, для проделанной работы, очевидно,
получаем следующее выражение:
5*
68
Г лава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
Следовательно, полная работа, проделанная совместно массами т2 и т3 при
их перемещении относительно тх, равна
Таким образом, U3 есть силовая функция первых трех тел.
Продолжая эти рассуждения, мы, очевидно, придем к тому, что полная
работа, проделанная совместно п телами при перемещении их из
бесконечности в те положения, которые они занимают в данный момент t,
равна U, где
Потенциальная энергия системы определяется как работа, которую необходимо
затратить, чтобы перевести эту систему из того положения, которое она
занимает в данный момент, в положение, когда взаимные расстояния между
массами, ее составляющими, будут бесконечными. Таким образом,
потенциальная энергия системы равна — U.
§ 4.03. Интегралы движения центра масс системы
Для частного значения I имеем
t/2-f- выражение (3) или, обозначая эту сумму через U3, имеем
П
П
Далее,
Поэтому
ди
д / 1 \ ь-ъ
а?| \ д<у) д»,
д / 1
§ 4.03. Интегралы движения центра масс системы
69
Аналогично
л
и*о. да
дгч , Ьц
Из уравнений (1) путем суммирования по всем значениям / от 1 до п
получаем
Y1 л v V mimj (€/ — €/)
2d di ~и 2d 2d дз
1 i=l /а 1
где ]Ф1. Двойная сумма в правой части равна нулю. Действительно, два
члена, например, соответствующие 1 = 2, j = 3 и / = 3, j = 2, равны
23 23
и их суммирование даст нуль. А поскольку это справедливо для всех других
пар индексов / и J, то
П
6U
2-ЗИ- w
При помощи уравнений (3) § 4.01 последнее равенство приводится к виду
2 /М, = 0. (4)
Аналогично
л я
2 m-tf, = 0 и 2/Ki?"i — 0.
1 1
Эти уравнения могут быть немедленно проинтегрированы, что даст
2/K/Si==ai» === Pi* 2»*Л = Т1 (б)
и затем
2 nfii = a ,f + otj, 2 W/7!/ = Pi*+Pa» (6)
2«& = Ti*+T2-
где a,, 7i и 04, p2, T2— постоянные.
Уравнения (5) показывают, что сумма проекций количеств движения тел
системы на любое направление есть реличина постоянная.
70
Глава J. Оснивнле уравнения движения и их интегралы
Пусть точка (X, К, Z) означает центр масс системы п тел и пусть
п
М равно Тогда
1
= (7)
1
Аналогичные два уравнения запишутся для К и Z. Согласно формулам (5),
имеем следующие равенства:
МХ = а,, МК = р1( AJZ = Ti>
которые показывают, что центр масс системы имеет постоянную скорость.
Кроме того, на основании формул (6) и (7) имеем
MX = а1/-(-а2, MY = + = Ti^ + Тг- (8)
А эти равенства показывают, что центр масс системы движется по прямой.
Число постоянных интегрирования в формулах (6) и (8) равно шести.
Очевидно, что система осей с началом в центре масс является по своему
характеру системой Ньютона. Если xt, yt, zt — координаты тела PL
относительно этой системы осей, то мы будем иметь
ди
и аналогичные уравнения для у и г.
§ 4.04. Интегралы площадей
Из уравнений (1) и (2) § 4.03 получаем
dU dU Vi m,
dii д/7
Отсюда с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые использовались при
выводе уравнения (3) § 4.03, мы получили следующее равенство:
dU dU\ .
11“-г»—'--air)”0’
которое вследствие уравнений (3) § 4.01 принимает вид
/I
2 —?>!/) = о.
§ 4.05. Другие доказательства результатов § 4.03 и 4.04
