Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
эксцентрической аномалией и обозначается через Е. Мы имеем
CR = a cos Е, RQ = aslnE. (4)
Так как уравнение эллипса с центром в точке С и с полу-
осью СА, расположенной вдоль оси х, имеет вид
Л-2 v2
?_ — 1
а» “I" bt — ь
где ft2 = a2( 1 —в2), то ордината PR выражается через Е следующим
образом:
PR= Ь
Следовательно,
PR=j (в2 — о2 cos2 Е)',г = Ь sin Е.
EL-1 (5)
RQ а’ (5)
Так как СР0 = ае, то имеем
l=rcosf = a(cosE — е), (6)
= г sin/=sdsin?. (7)
Радиус-вектор г определится как функция Е, если возвести в квадрат
формулы (6) и (7) и сложить. Тогда получим
г = а (1—«cosЕ). (8)
Из формулы (6) находим
2cos2y—lj = o(cos? — е) (9)
или, используя формулу (8),
г cos2 у = а (1 — е) cos2-j- •
Аналогично из равенства (7) получаем
г ^ 1 —2sin2^ = fl(cos? — е).
откуда, используя формулу (8), находим
г sin2-y = а (1 -J- «) sin2 -у. (10)
§ 2.10. Уравнение Кеплера
31
Из формул (9) и (10) имеем
Чгт-у-йт-®-#- <“>
Последнее уравнение выражает истинную аномалию через эксцентрическую
аномалию, и наоборот.
§ 2.09. Средняя аномалия
Предположим, что в момент t планета находится в точке Р (рис. 7). За
интервал времени t — т радиус-вектор перейдет из положения Р0А в
положение PqP. Если радиус-вектор в момент t совпадает с Р0А и в
дальнейшем вращается со средней угловой скоростью я, то угол РР0А, на
который он повернется за время t — т, называется средней аномалией. Если
обозначить среднюю аномалию через М, то
уИ = я (/ — т). (1)
§ 2.10. Уравнение Кеплера
Это уравнение связывает между собой эксцентрическую аномалию Е и среднюю
аномалию М. Оно имеет вид
Е — е sin? — М.
Мы выведем его следующим образом.
Из формулы
r — a( 1 —в cos Е)
"r — aes\aE-E. (1)
1 1-fgcos/ г а (1 — е2)
имеем
Из равенства находим
откуда, так как получаем
е sin / • /
г2 ~~ а(\—е2) ’
г2/ = Л = па2
• пае sin /
У \ — е2 Из формул (1) и (2) имеем
ь п sin /
(2)
32
Глава 2. Эллиптическое движение
Но, согласно формуле (3) § 2.08,
г, = г sin / = а У \ — в2 sin Е.
Следовательно,
гЁ = па
или
(1 —е cos Е) Ё = п.
Интегрируя, получаем
Е — ^ sin E — nt-\~c,
где с — постоянная интегрирования. Однако Е = 0, когда t = i. Поэтому с =
— лт. Следовательно, мы получаем
Е — es\nE = M = n(t — т), (3)
что и является уравнением Кеплера, связывающим между собой
эксцентрическую и среднюю аномалии.
§ 2.11. Решение уравнения Кеплера
Предположим, что элементы е и т орбиты и среднее движение л нам известны.
В таком случае мы можем вычислить значение М для момента t. Для
определения значения Е для момента t мы имеем уравнение
Е — ^ sin Е = М. (1)
а) Если е мало, скажем порядка 0,1, как в случае большинства планетных
орбит, то Е можно вычислить с помощью весьма удобного метода,
предложенного Брауном ]). Положим
Е = М-\-х, (2)
где х нужно определить.
Тогда из формулы (1) имеем
Jc = *sin(.M-|-jt). (3)
Из формулы (3) следует, очевидно, что х имеет порядок е. Далее,
X• J(5
sin* = *-зГ+5! “ ;•* =
= *sin(Al + jt) — -^sin3(M + *) + -j7^-sin5(Al-|-jC)— ,..
или
sin х (1 — е cos М) — е sin М cos х —
— — -^sin3(M + *)+-j^sin5(M-|-.x)— .... (4)
l) Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 92, 104 (1931).
§ 2.11. Решение уравнения Кеплера 33
Пусть С и дг0 определяются уравнениями
Cslnjc0 = esinAf, (5)
Ccosjcu=1—ecos М, (6)
из которых находим
, е sin М
?gJfo— 1—ecosAf ’ ^
Csin(Af jc0) = sin Af, (8)
С2 = 1 — 2e cos M e1. (9)
Мы вычислим jc0 по формуле (7) и С по формуле (8), если только М не
является близким к 903 или к 2701, когда для определения С может быть
использована формула (9). Следует заметить, что х0 имеет порядок е.
Используя формулы (5) и (6), запишем разложение (4) в виде
sin(jc — х0) = — -g^-sin3(M + х)
+ ТШ + •*)+--------------------------- (10)
Формула (9) показывает, что С имеет порядок единицы. Следовательно,
согласно разложению (10), х — х0 имеет порядок е3, так что если мы
подставим х0 вместо х в первый член правой части равенства (10) и
отбросим второй член, то получим уравнение
Sin(jf — Xq) = —Sin3(Af —j- Xq), (11)
которое справедливо с точностью до членов порядка е*. Это уравнение может
быть записано и в другой форме. Из формул (5) и (6) имеем
sin дг0 (1 —ecos/M) = ecos x0sin М.
Отсюда
sin х0 = е sin (М jcq), и из уравнения (11) получаем
sln(jc —х0) = —-g^sln3je0. (12)
По формуле (11) или (12) значение х может быть легко вычислено. Обозначим
его через х'. Для планетных орбит с малыми е это значение х' обычно
оказывается достаточно точным. Решение уравнения Кеплера тогда принимает
вид
Е = М + х\
3 У. Смарт
34
Глава 2. Эллиптическое движение
Если е имеет несколько большее значение или если требуется ббльшая
точность, то можно получить требуемое значение х путем подстановки х'
вместо х в первый член правой части формулы (10) и jc0 вместо х во второй
член. Тогда х будет вычисляться по формуле
sin(* — *„) = — ^-sin30W-f x') + rg^rSins(M + x0). (13)
Если х" — значение х, найденное по формуле (13), то решение уравнения
Кеплера имеет вид
Е = М + х".
б) Если е не является сравнительно малым, как в случае (а), то
