Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
процедура решения начинается с определения исходного значения Е, которое
представляет собой приближенное решение уравнения Кеплера. Такое значение
может быть получено одним из многих графических методов, предложенных для
этой цели (их имеется около 120), или с помощью специальных таблиц ')• В
этих таблицах даются значения М, вычисленные для отдельных значений Е и
е, например Е с интервалом в 1° и е с интервалом 0,05.
Путем интерполяции по этим таблицам легко получить значение Ё0. которое
приближенно удовлетворяет уравнению Кеплера при данных значениях е и М.
Пусть Е0 -f- dE обозначает величину Е, которая точно удовлетворяет этому
уравнению. Тогда
Ej-\-dE — esin(E0-\-dE) = М. (14)
С точностью до членов первого порядка мы получаем для dE формулу
? = _М —Afo
1 — е cos ?0 '
где М0^Е0 — esin?0, а поэтому dE легко вычисляется. Таким образом,
можно получить более точное значение E0~{-dE. Для даль-
нейшего уточнения значения Е, удовлетворяющего уравнению Кеплера, можно
повторить этот прием, принимая E0-{-dE в качестве нового приближенного
значения.
') Например, J. Bauschlnger, Tafeln zur theoretlschen Astronomle,
Leipzig, 1901, или J. J. As 1 rand, HQlfstafeln, Leipzig, 1890. [См.
также: М. Ф. С у б б о т и и, Вспомогательные таблицы для вычисления
орбит и эфемерид. Приложение к курсу небесной механики, Гостехиздат, М.—
Л., 1941; А. Я. Орлов и Б. А. Орлов, Курс теоретической астрономии,
Гостехиздат, М.—Л., 1940. — Прим. ред.]
§ 2.13. Модификация эллиптических элементов
35
§ 2.12. Скорость движения планеты
по ее орбите
Пусть v — орбитальная скорость планеты. Тогда
Из уравнения Кеплера имеем
(1 —в cos Е)Ё = п.
Следовательно.
0)
или
(2)
Это и есть та формула, которую требовалось вывести.
§ 2.13. Модификация эллиптических элементов
Элементы орбиты, с которыми мы пока имели дело, таковы: а, е, т и 2, ю,
/.
Последняя группа элементов, отнесенных к основной плоскости и осям,
обозначенным через X, Y и Z, показана на рис. 8.
а) Элемент т, входящий в уравнение Кеплера
Е — в sin E = n(t — т),
иногда бывает удобнее заменить элементом у, равным —ят, так что уравнение
Кеплера принимает вид
б) Имеющая более широкое применение модификация основных элементов
включает в себя замену шит (или у). Когда основной плоскостью является
плоскость эклиптики, то долгота некоторой точки большого круга MAQ в
теории планет определяется как угол, измеренный от основной точки X (или
Т) до восходящего узла N
Е — е sin Е = nt у.
О)
Элементами орбиты тогда будут:
а, е, у и 2, ю. I.
3*
36 Глава 2. Эллиптическое движение
и далее вдоль большого круга орбиты до интересующей нас точки. Таким
образом, долгота перигелия, обозначаемая через ш,—это долгота точки А и
она выражается через 2 и о> следующим образом:
й = 2 о). (2)
Следовательно, мы можем заменить ш на ш — 2.
Если на рис. 8 Q — точка пересечения радиус-вектора PqP со сферой, a AQ —
истинная аномалия / этой точки, то истинная
долгота планеты, обозначаемая через L, — это долгота точки Q.
Следовательно,
? = 24-0) + /
или
Л = й + /. (3)
Аналогично средняя долгота планеты, обозначаемая через /, связана со
средней аномалией M = n(t — т) = я/ + у формулой
/ = й + я(/ —т). (4)
Вместо элемента к (или у) часто вводится элемент е,
называемый
средней долготой в эпоху. Это средняя долгота в начальный
мо-
мент времени / = 0; она дается формулой (4), если положить в ней / = 0.
Следовательно,
е = ш — пк. (5)
Исключая к из равенств (4) и (5), мы для средней долготы I найдем формулу
I nt —)— 8. (6)
§ 2.15. Вычисление прямого восхождения и склонения
37
Согласно формуле (4), средняя аномалия М определится так:
§ 2.14. Сводка формул эллиптического движения
Соберем здесь для справок основные формулы, полученные в предыдущих
параграфах:
Эти формулы важны для теоретических исследований, которые мы рассмотрим в
следующих главах.
При помощи их можно также вычислить положение планеты на ее орбите, т. е.
значения г и / для любого момента времени, если известны элементы а, е и
т, <о (или е и ш), а следовательно, и период обращения Т. Сначала мы
находим я = 2я/7\ затем вычисляем М. Соответствующее значение Е
определяется из уравнения Кеплера одним из способов, описанных в § 2.11.
По этому значению Е величины г и / вычисляются посредством формул (5) и
(6). Формула (1) может быть использована для контроля.
§ 2.16. Вычисление прямого восхождения
М = I —ш.
Следовательно, используя равенство (6), получаем
М = nt -\-г —<Ь.
Эта система содержит следующие элементы: а, е, е, 2, ш, I.
(7)
Г 1 + е cos / ’ n7az = |x — G (m0 -f- m), A2 = pa(l —e1).
a (1 — g»)
(1)
(2)
(3)
E — e sin E = Mn (t —1) =
= ”-t + x =
— nt-f-E Ш,
r — a( 1 —ecosE),
(4)
(5)
(6)
и склонения по известным элементам орбиты
Эти вычисления состоят из четырех этапов.
1. Обратимся к рис. 8 на стр. 36. Относительно осей Р0А, PqB, лежащих
в плоскости орбиты, координаты точки Р суть 5, tj’
38
Глава 2. Эллиптическое движение
Пусть (/,, /Ир Пу) и (/2, ш2, п2) — направляющие косинусы соответственно
