Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
действующей по прямой, соединяющей Рх и Р2, и пропорциональной
произведению масс частиц и обратно пропорциональной квадрату расстояния г
между частицами. Алгебраически этот закон выражается следующей формулой:
где О называется постоянной тяготения.
Это выражение дает также силу притяжения частицы Р2 на частицу Pv
Ускорение /j массы mv обусловленное силой F, дается формулой /j = Gm2/r2,
а ускорение /2 массы т2 определяется из формулы /2 = Gmjr2.
При помощи метода, который мы здесь не будем описывать, найдено, что если
/ = 1 см/сек2, т — 1 г и г = 1 см, то в системе единиц СГС постоянная
тяготения равна
Для небесной механики система единиц СГС явно не удобна, но при любых
других принятых единицах длины, времени и массы соответствующее значение
G в этих единицах может быть легко получено из его численного значения
(2) и размерности О, именно LiT~2M~1. Следует заметить, что после выбора
подходящих единиц длины и времени мы можем подобрать единицу массы так,
чтобы 0=1. Такие единицы иногда называются астрономическими единицами.
В теории планет наиболее удобными являются следующие единицы:
а* Gm0
Т*~~4пГ
и п3а3 — Gm.
O’
(1)
0 = 6,66 • КГ8.
(2)
§ 1.04. Потенциал
13
единица длины —большая полуось земной орбиты, принятая в качестве
астрономической единицы длины; единица времени — средние солнечные сутки;
единица массы —масса Солнца.
Рассмотрим орбиту Земли. В этих единицах а = 1, Т = 365,2564 и щ—
1/329390. Соответственно этому из формулы (8) § 1.02 для О получаем
г 329390 4*а
а==с 329391 (365,2564)2'
В более ранней литературе постоянная тяготения обозначалась через k2,
причем величина k называется постоянной Гаусса, так что k = VO. Исходя из
значений т и Т, имевшихся в то время, Гаусс получил для k следующее
численное значение:
k = 0,017202099.
Так как это значение k на протяжении долгого времени использовалось в
численных исследованиях, то его оставили без изменения, а единицу длины
изменили так, чтобы сохранилось согласие с более точными значениями m и
Т, которые имеются ныне. Если большую полуось земной орбиты обозначить
через а, астрономических единиц, то найдем In а, = 0,000000013.
Кроме того, нужно заметить, что одну из единиц можно выбрать так, что 6 =
1, 0=1, и тем самым получить упрощение аналитических формул. В такой
системе наиболее удобными единицами являются следующие:
единица длины — астрономическая единица; единица массы — масса Солнца;
единица времени — 58,132441 средних солнечных суток.
В задачах, связанных со звездными системами, наиболее удобными единицами
являются астрономическая единица, один год и масса Солнца. Поэтому из
формулы (8) § 1.02, полагая в ней а= 1, 7'=1, m0=l и пренебрегая т, мы
найдем, что 0 = 4я2.
При последующем аналитическом изложении мы будем вообще сохранять О как
алгебраический символ, не связывая его с какой-либо определенной системой
единиц.
§ 1.04. Потенциал
Мы будем предполагать, что возможно выбрать инерциальную систему осей О;,
Orj, ОС, в которой может быть определено положение небесного тела (см.
рис. 2). Пусть Р и Я,— два тела, которые, по предположению, представляют
собой материальные точки с координатами ($, ij, С) и ijj, Cj) и массами т
и mv
14
Глава 1. Введение
Сила притяжения тела Я телом Рх равна GmmxJr\ и действует в направлении
ЯЯР где г,—расстояние PPV Пусть тХх, mYv mZx—
iji i^>i)
составляющие силы притяжения по положительным направлениям осей. Тогда
„ v _ Gtnmx €, —€ тЛ j “о I •
Но
Поэтому
'1 '1 502н-(^—^)2-ь(^—V
г дГх —Г ? r\ ft — « — «г
У Gmx дгх д / Gmx \
1 ~ Л & ~~ di \ гх )'
Если имеются другие тела Я2, Я3 Рп с массами т2, т3 тп
и если тХ — сумма составляющих по оси О? сил притяжения тела Я телами Pv
Я2 Рп, то
x--k^ij9Fr <laeI-2 я>-
Аналогичные формулы получаются для У и Z.
Мы определим потенциал V в точке Р, создаваемый материальными точками Яр
Я2, .... Я„, формулой
§ 1.05. Потенциал шара на внешнюю точку
15
Заметим, что функция V зависит только от расстояний между телами Р и Я,,
Р2, ..., Рп и, следовательно, не зависит от выбора системы координат. Мы
имеем
X-2L- У-дУ 7-™ (Ъ
Л ~ di ’ Y ~ дц ’ *? — дХ.'
Таким образом, потенциал в точке Я(;, tj, С) обладает тем свойством, что
его производные по %, tj, С даюг составляющие силы
притяжения частицы единичной массы, расположенной в точке Р,
массами
fill t ttl 2» • • Wjji
§ 1.05. Потенциал шара на внешнюю точку
Предположим, что шар является однородным или, в более общем случае, что
плотность в любой его точке есть функция лишь расстояния от центра шара.
Закон тяготения Ньютона применим к частицам. Солнце, планеты и спутники
не являются частицами в нью-тонианском смысле с массами,
сконцентрированными в точках, а являются огромными сферическими, или
близкими к сферическим, телами. Во многих задачах достаточно
рассматривать эти тела как строго сферические. Ньютон доказал
замечательную теорему о том,
что притяжение однородного шара или шара, плотность внутри которого есть
