Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
частные решения уравнения (5.19), представляющие собой диполи различных
порядков этого уравнения
Умножая частные решения (5.20) и (5.21) на множитель екс и постоянные
коэффициенты Вп и суммируя, получим то общее решение уравнения (2.10),
которое отвечает осесимметричному движению жидкости:
Пользуясь общими выражениями (5.14) для о и (5.23) для у, можно, найти по
формулам (5.2) компоненты скоростей частиц жидкости. Эти выражения для
скоростей окажутся весьма сложными, и точное удовлетворение граничных
условий (5.4) прилипания потребует длительных вычислений. Поэтому мы
прибегнем к приближённому способу удовлетворения этих условий.
то малым значениям числа Рейнольдса будут отвечать малые значения
параметра k. Каждый член ряда (5.22) будет иметь слагаемое
которое при малом значении k имеет порядок единицы. Поскольку вся сумма
ряда (5.22) должна иметь ограниченное значение, то
(5.21)
(Яг)- (5'22)
то первые слагаемые ряда для функции у имеют вид
-0089) . / 1 \
I |А> у1 + я ) C0S f> +
jL + cosS4(** + ! + Ji)]+...)
(5.23)
Так как
246 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА [ГЛ. VII
естественно предположить, что коэффициенты Вп с возрастанием индекса
убывают пропорционально степени малого параметра k. Примем, что первые
три коэффициента имеют следующие порядки величин:
fl0~l, Si-*, Я2~/г2. (5.24)
Учитывая эти порядки, а также разложение
е-Ы (1-оо.е) _ 1 _ kR (1 _ cos 0)+ -I № (1 _ cos 0)2 _
и сохраняя в правой части (5.23) величины, имеющие порядок не выше второй
степени относительно k, получим:
у " - U+ в0 [1 - k (1 - cos 0) ¦+ ^ ?2 Я (1 - cos 9)2j -
- BR (iT + k cos2 6) - ^ ^ - 3 cos2 0)' (5'25)
Так как в выражения скоростей (5.2) параметр k входит в
знаменатель, то в числе слагаемых, происходящих от у, будут
слагаемые,
1
имеющие порядок величины -. На границе шара компоненты скоростей должны
обращаться в нуль. Следовательно, в числе слагаемых, происходящих от
функции <р, должны быть слагаемые, имеющие тот же порядок величины На
этом основании мы можем положить, что первые коэффициенты Ап ряда (5.14)
имеют порядки
/40~-/41~1, A^^k. (5.26)
Сохраняя в ряде (5.14) три первых члена и вычисляя по формулам (5.2)
компоненты скоростей лишь с точностью до значения k
в первой степени, найдём:
vR " U cos 9-^ + ^L-^-B0 cos 9 (I-А + k cos и) + ' + B1cojy + Bo[_ _1_+ *
(, _ cose)2] +
, Вг cos В , ?tcos2 6 , 3B2 n____________" -"<.2 04
+ k& + 2/?a +2 kR^
... r. , Ал sin 0 6j42sln6cos0 . 0 . , / 1 , , , 0\
vb aa - U sin 9+-i^----------------bfl0sin в^-Л+Acos 0J-
Bi sin 0 cos 0 , " Г sin0 . ft . "."I ,
h5o[-W+Tsin9(l-cos0)J +
, Вt sin 0 3B2 cos 0 sin 0
+ W* '
(5.27)
§ 5]
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ШАРА
247
Для удовлетворения граничным условиям прилипания (5.4) положим в правых
частях (5.27):
R - a.
Собирая в первом равенстве коэффициенты при функциях Р2, Pt и свободные
члены, аг во втором-коэффициенты при sin 0 и sin 0 cos0, получим
следующие уравнения:
А -\~ -
2А1 - В0аЧ1
ka
h.
2
А-
k
:0,
: - Ua\
ЪА2-{-В0 -
ka* Bxa? , 3Ba -
~2F '
6 А,
2 B0kaA
2k
3 S2.
¦ о.
(5.28)
Из второго и четвёртого равенств (5.28) найдём:
3 Uа
о 3ka 2
(5.29)
Исключая А2 и В.2 из третьего и пятого уравнений, получим:
B0ka4 - В^а2, - 0.
Подставляя значение В0 из (5.29), имеем:
3Uka?
Ву.
2 -
3ka '
(5.30)
При подстановке значений В0 и Bt в (5.28) будем иметь:
_ 3Ua(\ - &2а2)
0 " k (4 - ЗАа) '
2t/a3
- 3ka'
В2 _
"2_г2? ~~ 2(4 - ЗАа)'
(5.31)
Таким образом, при принятой нами степени приближения будут определяться
только четыре постоянные А0, At, В0 и Bv а постоянные А2 и В2 будут
определяться лишь в своей линейной комбинации.
248 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА [ГЛ. VII
Подставляя найденное значение А0 из (5.31) в формулу (5.18) для
результирующей силы воздействия жидкости на шар и вводя число Рейнольдса,
получим:
Считая число Рейнольдса заведомо меньше единицы, производя разложение в
правой части (5.32) и ограничиваясь слагаемыми, содержащими R лишь в
первой степени, будем иметь:
Таким образом, частичный учёт квадратичных членов инерции по Озеену
вносит в формулу Стокса для сопротивления шара поправку, относительная
величина которой в первом приближении пропорциональна первой степени
числа Рейнольдса. Формула для сопротивления шара становится двучленной;
первое слагаемое будет содержать скорость в первой степени, а второе - во
второй степени.
Дальнейшее уточнение формулы сопротивления для шара, получаемой на основе
использования уравнений Озеена, было произведено Гольдштейном *).
Сделанное им сравнение результатов расчёта сопротивления шара по формуле
(5.33) и по уточнённой формуле Гольдштейна с соответственными
экспериментальными результатами показало удовлетворительное согласование
до числа Рейнольдса, равного четырём. При числе Рейнольдса, равном
четырём, относительное отклонение расчётного результата по формуле (5.33)
от экспериментального достигает 15%, а по формуле Гольдштейна 7%.
