Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
и = j А (уп- - у К),
1 dA /;
V " 2 dx \
yVi\
2 )'
где
и. дх 1 v р
(9.8)
(9.9)
Второе граничное условие для v даёт уравнение
№ dA
Следовательно,
Vq 12 dx
Л=^2(С4-
¦х).
(9.10)
где С4-произвольная постоянная.
Подставляя значение и из (9.8) в правую часть (9.6) и учитывая граничные
условия (9.7), получим выражение для среднего ускорения
(9.11)
dA
М7ср = AM СС = -
60
dx
~AV 5 ЛИ2'
Если в выражение (9.9) подставить значение Wcp из (9.11) и значение А из
(9.10) и провести интегрирование, то найдём:
p-^r{v- + i Vs) (Cix - Т'+Сз)-
Входящие в это выражение С4 и С5 должны быть определены из условий (9.7)
для давления.
224
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[ГЛ. VI
Таким образом, распределение давления в слое между пластинками будет
определяться следующей формулой:
Полученное решение (9.12) будет отличаться от решения оОычных уравнений
Рейнольдса дополнительным слагаемым
которое не зависит от вязкости и пропорционально квадрату скорости
поджатия слоя.
Умножая обе части равенства (9.12) на dx и интегрируя по переменному х от
нуля до I, получим следующую формулу для сопротивления сжатию вязкого
слоя прямолинейной пластинкой ширины Н:
Отношение второго слагаемого в правой части (9.13) к первому будет
выражаться через число Рейнольдса слоя таким образом:
Следовательно, если число Рейнольдса слоя будет иметь порядок единицы и
более, то пренебрегать вторым слагаемым в формуле
(9.13) уже нельзя.
(9.12)
U
(9.14)
ГЛАВА Vll
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА
§ 1. Обобщённые уравнения Стокса
Векторное дифференциальное уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости
можно представить в следующей форме:
1
дУ . dVdx* . dVdy* . dVdz*_ dt ' дх dt ' ду dt '
dz dt
-gradp + ^AV. (1.1)
Левая часть этого уравнения представляет собой индивидуальную производную
от вектора скорости фиксированной частицы. До сих пор под координатами х,
у, z мы разумели координаты фиксированной точки пространства по отношению
к неподвижной системе
dx* dy* dz* координат, тогда множители - -
dt
dt ' dt
представляли собой проекции вектора скорости абсолютного движения
фиксированной частицы на оси координат.
Будем теперь под х, у, z разуметь координаты геометрической точки по
отношению к подвижной системе координат, имеющей поступательное движение
со скоростью U и мгновенное вращение с угловой скоростью Q (рис. 61). При
таком предположе-
dx' dy* dz* , нии производные , - будут пред-
ставлять собой проекции на оси координат вектора относительной скорости
фиксированной частицы жидкости. Между векторами абсо* лютной (V),
переносной (Ve) и относительной (Vr) скоростей имеется следующая
зависимость:
где
Рис. 61.
V=Ve+VT,
i j k
2* Qy 2
X У z
'"!20 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА [ГЛ. VII
Так как левую часть уравнения (1.1) можно представить в виде
д V , dx" д V , dy* д V , dz* д V д V , 17 п 17
dt'~dtdx'~dtdy'~dtdz dt г
где
(tm)=д?1 + Ъ1+Тгк'
то векторное дифференциальное уравнение абсолютного движения вязкой
несжимаемой жидкости, отнесённое к подвижной системе координат, будет
иметь следующий вид:
^ + (V-f/ -aXr).VV = f-igradp + vAV. (1.2)
Если система координат будет иметь только поступательное движение,
совпадающее с поступательным движением рассматриваемого тела, то
уравнение (1.2) примет вид
g? + (V-0). VV=f- ygradp + vAV. (1.3)
Предполагая число Рейнольдса малым, мы можем, так же как и в методе
Стокса, отбросить квадратичные члены инерции, содержащие переменный
вектор скорости V, т. е. положить:
V-VV^O. (1.4)
При этом предположении мы получим из (1.3) уравнение
^ - U-VV = F - Igradp + vAV, -(1.5)
которое было впервые предложено Озееном и по его предложению названо
векторным обобщённым уравнением Стокса.
Будем предполагать, что ось х поступательно движущейся системы координат
прямо противоположна направлению вектора скорости поступательного
движения тела. В таком случае при проектировании левой и правой частей
уравнения (1.5) на оси координат и при присоединении уравнения
несжимаемости мы подучим следующую систему обобщённых дифференциальных
уравнений Стокса:
ди W + дх 1 p dp dx + v Ди,
dv dt + и?- дх = *V 1 p dp dy Дг",
dw dt + vdw dx = P"- 1 p dp dz Ада,
ди Ш + dv , II 0.
ОПОПЩЁМПЫЕ УРЛВНПИИЯ СТОКСА
227
К установлению уравнений (1.6) можно подойти и с другой стороны. Вначале
обратим движение, т. е. телу и всей жидкости сообщим поступательное
движение в направлении, обратном движению тела. Для обращённого движения
возьмём, например, первое уравнение (1.1) в проекциях на ось л::
ди . ди . да . ди " 1 др , .
W + + ^ + + (17)
Если бы не было тела, то в обращённом движении все частицы имели бы
скорость U. Благодаря наличию тела произойдёт деформация потока, и
частицы будут иметь уже другие скорости. Если размеры тела
предполагать небольшими, то новая компонента скорости и будет
отличаться от прежней U на малую величину, а две
другие компоненты скорости будут вообще малыми. На этом основании в левой
