Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
зависимость:
• = "/!="/?• <2Л9>
Таким образом, толщина пограничного слоя на пластинке увеличивается вдоль
самой пластинки по закону параболы. Но чаще всего в качестве толщины
пограничного слоя принимается утроенная величина толщины вытеснения 8*,
причём под толщиной вытеснения подразумевается величина 8*, определяемая
равенством
00
*/08*= f (U0 - u)dy. (2.20)
о
Величина 8' характеризует то' смещение внешних линий тока от
рассматриваемой обтекаемой потоком поверхности тела, которое обусловлено
образованием пограничного слоя. Если использовать таблицу 1 значений их
или первое приближение (2.11), то для толщины вытеснения 8* для случая
пластинки можно будет получить выражение ___
8'= 1,73]/" (2.21)
Таким образом, для толщины пограничного слоя на прямолинейной пластинке
будем иметь формулу
8 = 3"- = 5,2/'%.
(2.22)
264
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VIII
Эксперименты, проведённые Хансеном *) но определению распределения
скоростей в пограничном слое на пластинке, показали вполне
удовлетворительное согласование результатов вычислений, представленных в
таблице 1, с результатами измерений до значений чисел Рейнольдса порядка
300 ООО. Некоторое отклонение результатов измерений от результатов
вычислений имеет место для точек, расположенных вблизи носика пластинки.
Это отклонение в значительной мере должно объясняться тем, что
предпосылки теории пограничного слоя вблизи края пластинки менее
справедливы, чем вдали от края.
§ 3. Интегральные соотношения
Первое основное уравнение (1.13) пограничного слоя является нелинейным.
Поэтому Интегрирование уравнений пограничного слоя для конкретных задач
связано с достаточно большими трудностями, как это было показано на
примере пластинки в § 2. Это обстоятельство побудило многих
исследователей искать приближённые методы, упрощающие либо задачу
изучения движения жидкости в пограничном слое, либо метод отдельных
операций вычисления характеристик пограничного слоя. К настоящему моменту
в литературе имеется достаточно большое количество различных приближённых
методов изучения пограничного слоя. Основная группа этих приближённых
методов связана с использованием интегральных соотношений пограничного
слоя.
Первое интегральное соотношение было установлено Карманом2) с помощью
применения теоремы об изменении количества движения в фиксированном
элементе пограничного слоя. Второе соотношение было установлено Л. С.
Лейбензоном s) с помощью применения теоремы об изменении полной энергии в
фиксированном элементе пограничного слоя. Обобщение этих соотношений было
дано В. В. Голубевым 4). Дадим вывод этих соотношений, следуя
рассуждениям В. В. Голубева.
Умножим обе части первого уравнения (1.13) на ик dy и проинтегрируем от
нуля до 8, представляющей собой толщину пограничного слоя; получим:
J м*'+1ё^+ j vuk§dy = -jdJ \^dy. (3.1)
О 0 0 0
!) Hansen М., Die Geschwindigkeits Verteilung in der Grenzschicht an
eingetauchten Platte, Zeitschr. liir angew. Mathem. und Mechanik, т. 8,
вып. 3, 1928.
2) К a r m a n Т., Ueber laminare und turbulente Reibung, Zeitschr. fiir
angew. Math, und Mech., т. I, 1921.
3) Лейбензон Л. С., Энергетическая форма интегрального условия в теории
пограничного слоя. Труды ЦАГИ, вып. 240, 1935.
4) К о ч и н Н. Е., К и бель И. А., Р о з е Н. В., Теоретическая
гидромеханика, ч. 2, Гостехиздат, 1948.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
265
Выполняя простейшие вычисления и учитывая, что толщина слоя зависит от
переменного х, будем иметь:
о
ди
Тх
k -f 2 J дх
о
Jvuk w=kh =kh Н+1| - j ик+1т? dy] -
О O' ~
J ик%аУ= "кЩ\~к j ик~1 (0)3йУ-
(3.2)
Используя граничные условия (1.14) и (1.15) и уравнение несжимаемости,
получим:
dv ди
ду дх
J "*+1|~dy= j J и*+2 dy (7*+-o'] ,
(3.3)
Принимая во внимание (3.3), подставим выражения (3.2) в (3.1); получим:
J ик+1ъгйУ+ J '°ик7п;аУ= 1
дх
О
(ft+1) (ft+ 2) [зГ J и*+а4у-^*+v]
и 0
= <3-4>
266
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VIII
Таким образом, интегральное соотношение В. В. Голубева будет иметь
следующий вид:
Полагая в соотношении (3.5) k = 0, получим интегральное соотношение
Кармана в виде
Первое слагаемое в левой части представляет собой секундное^ изменение
количества движения в фиксированном элементе^Пограничного слоя за счёт
входа и выхода масс через две боковые границы этого
ния и сил вязкости, отнесённый к единице времени и единице расстояния
вдоль координаты х.
Полагая в соотношении (3.5) k = 1 и учитывая, что (ц)0 = 0, получим
энергетическое интегральное соотношение Лейбензона
Первое слагаемое в левой части (3.7) с точностью до множителя р
представляет собой секундное изменение кинетической энергии в
фиксированном элементе пограничного слоя, обусловленное входом и выходом
масс через боковые границы AAt и BBV Второе слагаемое связано с
изменением кинетической энергии за счёт входа масс через верхнюю границу
слоя. Наконец, последнее слагаемое в правой части (3.7) представляет
собой ту часть энергии, которая рассеивается благодаря силам вязкости.
