Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
первая производная представляются в виде
К0(кг)!к - 1п(у-;?г).
COS I
(4.15)
где f - постоянная, равная 1,7811, то приближённое значение функции у
будет равно
- U - 50|jn (у ТА/-) + kr cos (r) *п (-j Tf*7")] - , (4.16)
Вычисляя по формулам (4.3) компоненты скоростей с точностью до величин
порядка единицы и отбрасывая величины порядка kr In ^ получим:
A) AiCOsQ , ,, u 1 г, w ¦
LW- -j-Ucosb - jB0 X
X [i + c°s 0 - c°s 01п (у T^)] + Д
cos 6 2kr*
sin 6
• U sin 0
d sln 6 .
¦ Bq 2 In
Bl sin 6 2kr±
(4.17)
Полагаем в правых частях (4.17) г = а и приравниваем левые части нулю.
Приравнивая отдельно нулю коэффициенты при степенях cos 0,
238 ДВИЖЕНИЕ-ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА (гЛ. VII
О,
sin О, получим следующие уравнения:
Ар __ Вр а 2 ka
I - г, 1
О? ^ 2
- А_ и -
й2 2
Во
Вп
of1 -Т1п(т^а)] 01п(4^")Ч
-А - о 2*Д2
А_
2*й2
Решая эти уравнения, будем иметь:
2U
А0 -
= 0.
4v
(4.18)
[l - 2 1п(- Т*й)
1 -2 In
(а*й)
А
46/
1 - 2 In
А -
2k
(тт*й)
г/й2
1 - 2 In
(тН
(4.19)
Таким образом, при рассматриваемой степени приближения определяются
только первые два коэффициента А0 и В0, два же других определяются лишь в
своей линейной комбинации.
Подставляя найденное значение коэффициента А0 из (4.12) в (4.11), получим
следующую формулу для силы воздействия вязкой жидкости на неподвижный
круглый цилиндр:
А
21n(ITR
где R - число Рейнольдса, равное
R
2 ka =
U а
(4.20)
(4.21)
Формула (4.20) для сопротивления цилиндра была впервые установлена в
работе Ламба1). Уточнение формулы сопротивления круглого цилиндра,
получаемой на основе использования уравнений Озеена, было дано в работах
Факсена2) и Томотика3). В последней работе указывается, что
удовлетворительное согласование результатов расчёта
1) Lamb Н., On the uniform motion of a sphere through a viscous fluid,
Phil. Magas (6), XXI, 1911.
2) Faxen H., Exakte LOsung der Oseenschen Differentialgleichungen einer
zahen Fliissigkeit fiir den Fall der Translationsbewegung eines
Zylinders, Nova Acta Reg. Soc. Scient. Upsata, Vol. extra ordinem editum,
1927.
3) Tomotica S. and Aoi Т., An expansion formulert for the drag on a
circulur cylinder moving through a viscous fluid at small Reynolds
numbres, The Quart. I. of Mech. and Appl. Mathem., т. IV, 1951.
§ 41
ЗАДАЧА ОГ. ОБТЕКАНИИ ЦИЛИНДРА
239
по уточнённой формуле сопротивления круглого цилиндра с
экспериментальными измерениями имеет место лишь до числа Рейнольдса,
равного 10.
Если подставить найденные значения коэффициентов (4.19) в (4.17), то
получим следующие приближённые формулы для скоростей частиц жидкости
вблизи поверхности самого цилиндра:
V,.:
U cos 0
- 2 In ^ -(kaj U sin 0
1 - 2 In
{hka)
l+-f+21n
-[- 2 In
?]¦
t]-
(4.22)
Жидкости и цилиндру сообщим теперь поступательное движение в направлении,
обратном движению цилиндра, и сохраним в выражениях (4.9) и (4.14) лишь
рлагаемые, содержащие А0 и В0, т. е.
с? = А0 In г, x==eftrco s*B0K0(kr).
Компоненты скоростей будут тогда представляться в виде vr - + 4
В0е*' [Ко (kr) - cos О К0 (kr))
v" - 4- В0екг соя 9 К0 (kr) sin 0.
(4.23)
(4.24)
Для больших значений аргумента имеют место следующие асимптотические
формулы для функций Макдональда:
Ка
(kr) яй ]/*¦~ е~кг, Ко (kr) - - у
2 kr
-hr
Следовательно, на далёких расстояниях от цилиндра скорости частиц
жидкости будут определяться по следующим=приближённым формулам:
А
~ г '¦••• i'- (1 + cos f0
I у^~е~!а'^~епя siri fJ.
(4.25)
Впереди цилиндра, где угол 0 мало отличается от it, движение частиц
жидкости на далёких расстояниях будет радиальным, происходящим от
источника в центре цилиндра с мощностью
Q ~ 2zА о - -
4r.U
1 - 2 In
{hka)\
(4.20)
240 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЭЕЕНА [ГЛ. VII
При этом величина радиальной скорости будет убывать обратно про*
порционально расстоянию от центра цилиндра:
<4-27)
Позади же цилиндра в области, где угол 0 близок к нулю, движение частиц
на далеких расстояниях хотя и будет также радиальным, но с направлением
скоростей в сторону движения цилиндра, и вели* чина радиальной скорости
будет убывать обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от
центра цилиндра:
vr^-2A0}f |*. (4.28)
Таким образом, порядок убывания скоростей частиц жидкости с увеличением
расстояния позади цилиндра меньше, чем впереди. Тот же самый вывод можно
сделать - и по отношению к порядку убывания интенсивности вихря. В самом
деле, интенсивность вихря, определяемая по формуле
на основании (4.23) будет представляться в виде w = B0ekr 008 9 К'й (kr)
k sin 9.
На больших расстояниях от цилиндра будем иметь:
ш = -Ci-oose) sin 6 -|/ (4.29)
Следовательно, в области впереди цилиндра, где 9 яа it, интенсивность
вихря убывает быстрее, чем по закону показательной функции
""й -В0Йпве-"'|/" (4.30)
тогда как позади цилиндра (9f=s0) интенсивность вихря убывает
лишь по закону квадратного корня из расстояния
"" - ?0sin 9 . (4.31)
Таким образом, при решении задачи об обтекании круглого
