Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Сохраняя в правых частях (5.29) и (5.30) лишь слагаемые, содержащие
параметр k в первой степени, а в выражениях (5.31) - слагаемые порядка
единицы, получим следующие приближённые значения четырёх постояннных:
Сопоставляя порядки полученных величин правых частей (5.34) с
предположенными порядками величин первых коэффициентов (5.24) и (5.26),
мы убеждаемся в том, что принятые допущения о порядке величин
коэффициентов полностью оправдались.
1 --rR2 4
(5.32)
Rx = 6r.Pa*U2 j^- = 6*["j?/(l-|- -|r). (5.33)
(5.34)
(J + ¦§ ak) - A
i) О о 1 d s t e i n S., The standv flow of viscous fluid past a fixed
spherical obstacle at small Reynolds numbres, Proc. Roy. Soc. A 123,
1929,
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ШАРА
249
Пользуясь равенствами (5.14) и (5.25), составим выражение для компонент
скоростей и при этом будем пренебрегать слагаемыми, содержащими параметр
k в первой степени и выше:
Для точек вблизи поверхности сферы произведение kR будет малой величиной.
Подставляя значения коэффициентов (5.34) и сохраняя в правых частях
(5.35) лишь члены порядка единицы, будем иметь:
Сравнивая полученные выражения (5.36) с формулами (7.20) главы V для
скоростей, полученными при решении дифференциальных уравнений Стокса для
задачи обтекания шара, мы видим полное их совпадение (различие в знаке
объясняется различием направлений скоростей потока на бесконечности).
Следовательно, частичный учёт квадратичных членов инерции по Озеену не
вносит существенных изменений в тот характер течения вблизи поверхности
неподвижного тела, который может быть получен при полном пренебрежении
квадратичными членами инерции из уравнений движения. Однако это
заключение будет верным только в том случае, если в выражениях скоростей
мы будем ограничиваться слагаемыми, не содержащими вообще числа
Рейнольдса. При таком предположении и правая часть формулы (5.33) для
сопротивления шара будет совпадать с правой частью формулы Стокса. При
сохранении же слагаемых, содержащих число Рейнольдса, будет проявляться
уже некоторое различие в характерах течений вблизи поверхности
обтекаемого тела.
Совершенно иначе будет обстоять дело на расстояниях, достаточно далёких
от поверхности шара. Если мы обратим движение, т. е. наложим на жидкость
и шар поступательное движение со скоростью, равной скорости шара, в
обратном направлении и сохраним в выражениях (5.34) для В0 и А0 лишь
первые слагаемые, а в правых частях (5.35) лишь слагаемые, содержащие А0
и В0, то получим:
+ е-ш (1-оо8 8, [_ _g>_ _ Ъ (1 + cos 0) _f_ , (5.35)
(5.36)
_ 3 U а
4 ?/?2
3 Ua .
| 1 (1-созв) jj _|_kR{ \ -|- cos (j)],
¦ (5.37)
250 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕ9нОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА [гл. VII
На далёких расстояниях впереди шара, где угол 9 имеет значения, близкие к
тс, а произведение kR имеет весьма большие значения, можно пренебречь
множителем с показательной функцией. Тогда из
(5.37) получим:
_ 3 Ца \
Vr 4k#'-' V (5.38)
¦^0 ~ 0. j
Таким образом, течение впереди шара на далёких от него расстоя-
ниях по своему характеру будет радиальным (рис. 66), происходящим от
источника в центре сферы с мощностью
Q = Г = 6тГЙЧ.
(5.39)
Для узкой области позади шара, в которой угол 6 близок к нулю, а значение
kR достаточно велико, можно положить:
0 - ЛД11 -cos 9)^ ]
1 +А/?(1 + cos 0)"1 + 2kR, ¦ (5.40)
sin 9 йй О,
При таких предположениях из (5.37) будем иметь:
Ш \
' ад * I 10.
v
в ' г>9:
(5.41)
На основании (5.41) заключаем, что на далёких расстояниях в узкой области
позади шара частицы жидкости движутся радиально, но в направлении вслед
за движением шара. При этом величина скорости убывает обратно
пропорционально первой степени расстояния от центра шара, тогда как для
частиц впереди шара она убывает быстрее, а именно обратно пропорционально
квадрату расстояния от центра шара. Таким образом, позади шара скорости
частиц с увеличением расстояния от шара медленнее стрем5Ггся к нулю, чем
впереди шара. Такое же заключение можно установить и по отношению к
вихрям.
§ 51
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ШАРА
251
Компоненты вихря из (2.13) будут представляться в виде
1 ду
wv~~^2dl'
1 ду Шг ~ 2 ду '
(5.42)
Подставляя в правые части вместо у первое слагаемое (5.23), содержащее
В0, т. е.
получим:
3 ,, е
шу = 1[аи-
= г aU
4
3 е у=таи-
- к (R-x)
-к (R-x)
R* (/? + k) Z'
g-k[R-x) , j
Я2
= 1/(02 +(02 = -т-aU -
' х ' и А
-к (R-x)
Я2
(1 +kR) sin 0.
(5.43)
Впереди шара для больших значений показателя
kR (1 - cos 9)
будем иметь:
" - 2kR
=^aU-
R*
¦ (1 -j- 2kR) sin 6 яа 0.
(5.44)
Таким образом, впереди шара интенсивность вихрей с увеличением расстояния
от центра шара резко убывает, и поэтому движение жидкости впереди шара на
далёких расстояниях можно считать потенциальным. Так как правая часть
(5.43) обращается в нуль при 0 = 0 и 6 = it, то в промежутке между этими
значениями интенсивность вихря будет иметь максимальное значение. Имеем:
^ _ _3 at/_(l+feg)_ e-kR(i~coa 9) (cos e _ kR s;na 6)i
следовательно, поверхность с максимальной завихрённостью частиц будет
