Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
(8.4)
220
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[ГЛ. VI
Полагая
_dh_^ Нр - Н dx ~ a
получим из (8.4) следующие приближённые равенства:
¦ (8.5)
Пусть Q-количество вещества, проходящее за единицу времени через сечение
AAV - количество вещества, которое прошло бы через это сечение за то же
время, если бы все частицы двигались со скоростью, равной окружной
скорости валков. Тогда опережением при прокатке называется величина 6,
определяемая следующим отношением:
Следовательно, опережение будет равно параметру ku представляемому
последней формулой (8.7).
Раскладывая In nq в ряд и ограничиваясь в разложении первыми тремя
членами, получим для опережения приближённую формулу
При прокатке горячего металла при температурах 700-900° опытные значения
опережения при р = 0,225 лежат в пределах
(8.6)
В рассматриваемом случае будем иметь:
я,
Q- - 2 J (м%0 dy, Q1 = 2a>RH1.
О
Если ввести обозначения
(8.7)
и подставить значение р из (8.5) и (8.3), то получим:
. .О о
Q = 2a>RH1( 1 + 6%
(8.8)
4 = 1,1, 6 = 2-3%; ч = 1,2, 6 = 4-6%.
§ 9] ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ СЛОЯ 221
На основании же формулы (9.8) получаются следующие результаты: 71=1,1, /г
= 3,5°/0; т] = 1,2, k = 6,5%.
Таким образом, формула (8.8) даёт несколько завышенные результаты, но по
своему порядку эти результаты удовлетворительно согласуются с
экспериментальными.
Характер распределения давлений, даваемый формулой (8.5), также
удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными.
На основании этих результатов сравнения теории и опыта можно придти к
тому заключению, что в ряде случаев обработки горячего металла давлением
можно для решения отдельных вопросов пользоваться аналогией с
соответственной задачей течения очень вязкой жидкости.
§ 9. Обобщённые уравнения Рейнольдса для слоя
В § 2 было указано на то, что приближённые уравнения Рейнольдса для
смазочного слоя совершенно не учитывают квадратичных членов инерции и
частично учитывают слагаемые от вязкости. Благодаря этим двум допущениям
оказалось возможным сравнительно просто решать такие отдельные конкретные
задачи, которые были рассмотрены в §§ 4, 5, 7 и 8.
Естественно поставить вопрос, нельзя ли приближённо учесть часть
квадратичных членов инерции, но так, чтобы при этом сохранилась та
простота решения отдельных задач, которая имеет место при использовании
самих уравнений Рейнольдса. Оказывается, что это можно сделать, если
вместо проекции действительного ускорения на ось х ввести его осреднённое
по толщине слоя значение.
Для плоско-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой
жидкости без учёта массовых сил основное уравнение в проекции на ось л:
представляется в виде
".=-т?+'(?+&)- (9Л)
где Wg,- проекция вектора ускорения на ось х, равная
w" = u?l + vW' (9-2)
Умножая левую и правую части (9.2) на ~^dy и интегрируя по
толщине слоя, получим выражение для среднего ускорения в рассматриваемом
сечении слоя
222
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
(ГЛ. VI
Вместо истинного ускорения Wx в левой части (9.1) подставим его
осреднённое по толщине слоя значение и затем проведём те упро-
щения, которые были проведены нольдса, тогда получим:
cfiu 1 др
при выводе уравнений (2.16) Рей-
dv2
ди
дх
дх
- WC]1,
<>Р
ду
dv
~ду
h
We,
J>
0,
¦ 0.
du
dx
du
dy
dy.
(9.-1)
Уравнения (9.4), приближённо учитывающие квадратичные члены инерции,
естественно назвать обобщёнными уравнениями Рейнольдса для слоя. Так как
правая часть первого уравнения (9.4) не будет зависеть от переменного у,
то интегрирование этой системы уравнений будет проводиться так же просто
и в том же порядке, в котором проводилось интегрирование основных
уравнений Рейнольдса в §§ 3 и 4. Проводя интегрирование по переменному у
в первом и третьем уравнениях (9.4), будем иметь:
1/1 др , 1
" = tU АГ-
С^у-\-С^,
(9.5)
Подставляя найденные значения и и v в четвёртое уравнение (9.4), можно
получить выражение для среднего ускорения, а используя граничное условие
для скорости v, можно получить соответственное уравнение для давления.
Правую часть выражения (9.4) для среднего ускорения можно представить в
другой форме, если учесть равенства
h h
ди д f u2 1 9 dh
дх У дх J 2 У 2 dx '
ft
J*
П
J
ди
vsy dy
¦ vu
dv ,
udtdy
:VU
du .
u-g^dy,
(v)h:
n
-J
du
dx
йу-\-Сй -
_d_
dx
n
\udy-p (u)h
dh
dx
§ 9[
ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ СЛОЯ
И7ср = .
Таким образом, среднее по толщине слоя ускорение будет иметь вид h h
:7т[зГ J u'dy-<u)hj^ J udy + Ca(u)h - (vu)A , (9.6) 0 0 -*
где через (u)h и (vu)0 обозначены значения величин, заключённых в скобки,
на верхней границе слоя (Л) и на нижней (0).
В качестве примера использования уравнений (9.4) рассмотрим задачу о
сдавливании слоя вязкого вещества параллельными пластинками (рис. 60) при
следующих условиях: i i
V-- 0 и - 0, v - 0,
при
при y-h и~~ 0, •v - -
при л:=0 р - 0, при х=1 р= 0.
1C,
(9.7)
'У/У7?///////.'////'//'//
Рис. 60.
|(
I
JX
Используя граничные условия (9.7), получим выражения для скоростей
