Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
значение. Беря производную от этого коэффициента и приравнивая ее нулю,
получим трансцендентное уравнение
Приблизительное значение действительного и положительного следующего
после единицы корня этого уравнения равно
При этом значении коэффициента k формулы (5.13), (5.14) и (5.15)
представятся в виде
Для определения точки приложения вектора результирующего давления
подсчитаем момент сил давлений относительно начала координат. Умножая
левую и правую части (5.10) на
?8-f-5?2 - 5k- 1 - 2k (A:-f-1)2In 6 = 0.
ft = 2,2.
(5.16)
и проводя интегрирование, получим:'
L=[т<>-*>+ттг *]•
СЛОЙ СМАЗКИ МЕЖДУ НАКЛОННЫМИ ПЛАСТИНКАМИ
20?
Следовательно, для координаты х центра давления будем иметь следующую
формулу:
- L 1 Г 2k №-\-2k\nk I
х-р- 2a\_k-\ (Jfe2 - 1) In Jfe - 2 (Л - l)a J ' ^ ^
При подстановке значения k = 2,2 получим:
х = 0,57 а.
Таким образом, точка приложения экстремального результирующего давления
располагается вблизи середины рассматриваемого слоя несколько ближе к его
узкой части.
На основании (5.3) распределение основнбй компоненты скорости и по
отдельным сечениям слоя будет примерно представляться так, как показано
на рис. 55. Отсюда заключаем, что благодаря
наклону верхней пластинки примыкающая к ней смазка в точках,
расположенных слева от сечения с экстремальным давлением, отжимается в
,сторону, обратную движению нижней плоскости. Это обстоятельство будет
уменьшать до некоторой степени возможность' разрыва смазочного слоя,
возможность оголения движущейся плоскости от смазки. Таким образом,
второй основной эффект смазки при переменной толщине слоя заключается в
создании предпосылок к непрерывности смазки движущейся поверхности.
Заметим, что если движение плоскости будет происходить не в сторону узкой
части слоя, а в сторону его широкой части, то во всех формулах,
содержащих множитель U, необходимо его знак изменить на обратный. В
результате такого движения будет развиваться не поддерживающая сила,
стремящаяся удалить пластин1' от плоскости, а обратная сила, стремящаяся
пластинку прижать к плоскости.
Полученные выше результаты могут быть использованы для качественного
объяснения основного эффекта смазки при вращении шипа в подшипнике. Пусть
нагрузка на горизонтальный вал, вращающийся в подшипниках, направлена по
вертикали. До вращения вала его шип будет касаться поверхности вкладыша
подшипника
208
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
f ГЛ. VI
в нижней точке (рис. 56, а). Посмотрим, что будет происходить в первые
моменты вращения шипа. Область между поверхностями шипа и подшипника
разделим на две равные части I тл II. В первой части движение поверхности
шипа будет происходить в сторону широкой части слоя, поэтому
результирующее давление Рх на шип будет направлено от шипа к подшипнику.
Во второй части, наоборот, результирующая сил давления будет направлена
от подшип-
Рис. 56.
ника к шипу (рис. 56, б). Так как обе эти силы не уравновешиваются
нагрузкой, то шип под действием их будет смещаться вправо. Это смещение
будет происходить до тех пор, пока направление результирующего давления
на шип не будет противоположным направлению вектора внешней нагрузки.
Такое уравновешивание внешней нагрузки результирующим давлением может
произойти тогда, когда линия (ab) наименьшего зазора между поверхностями
шипа и подшипника станет приблизительно горизонтальной (рис. 56, в).
Таким образом, при установившемся движении шипа в подшипнике линия
наименьшего зазора между ними смещается в сторону вращения шипа и
располагается приблизительно перпендикулярно к направлению вектора
внешней нагрузки на шип.
§ 6. Теория Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина1)
В предшествующих параграфах была развита гидродинамическая теория смазки
на основе тех уравнений, которые могут быть получены из общих уравнений
гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости с помощью отбрасывания: 1) всех
инерционных членов и 2) некоторых слагаемых, обусловленных вязкостью.
Гидродинамическая теория трения в подшипниках с учётом всех слагаемых от
вязкости и при отбрасывании всех инерционных членов, т. е. на основе
бигармонического уравнения для функции тока, была подробно развита
!) Жуковский Н. Е. и Чаплыгин С. А., О трении смазочного слоя между шипом
и подшипником (Н. Е. Жуковский, Собр. соч., т. Ш, 1949).
§ 6]
ТЕОРИЯ Н. Е. ЖУКОВСКОГО И С. А. ЧАПЛЫГИНА
209
в работе Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, изложение которой мы и даём
ниже.
Рассмотрим вращение шипа в подшипнике при следующих предположениях:
1) вся область между поверхностями шипа и подшипника заполнена смазкой,
2) оси шипа и подшипника параллельны,
3) движение частиц несжимаемой смазки с постоянным коэффициентом вязкости
является плоско-параллельным и установившимся,
4) квадратичные члены инерции не учитываются.
При этих предположениях задача сводится к решению бигармо-нического
уравнения для функции тока
ДАф = 0.
Вводим биполярные координаты (рис. 57)
х iy - at ctg .
Отделяя действительную и мнимую части в (6.2), получим:
