Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
величиной второго порядка и им можно пренебречь.
31
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ В СЛОЕ
199
Таким образом, граничные условия на второй поверхности будут Окончательно
представляться в виде
при y = h(x,z) и - Ui> = w - 0. (3.3)
Используя граничные условия (3.2) и (3.3), получим:
C.2^UV С4 = О, С5 = О,
С - -^h-
'-'Я --- О..
(3.4)
(3.5)
Подставляя в (3.1) значения Cv С3, С3, С4 и Сь из (3.4), получим
следующие выражения для скоростей:
" = У,+|№-и,)-Ё§0'"-Л
(3.6)
Обратимся теперь к ещё неиспользованному соотношению (3.5). Вынесем за
знак интеграла в правой части производные по х и z, но при этом учтём,
что верхний предел является переменным. Учитывая условия (3.3), будем
иметь:
J J J ady-u*i?'
О О о . _
ft ft ft
Г dw . д С ^
J ИаУ = И }wdy--^^ = n ] wdy-
Таким образом, соотношение (3.5) будет представляться в виде
A h
! иау-Ь j w*y-
(3.7)
200
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[ГЛ. VI
На основании равенств (3.6) будем иметь:
h
\ ("•")
Г . № др
\wdy = -W^'
о
Подставляя эти выражения в правую часть (3.7), получим следующее
дифференциальное уравнение для давления:
п И!)+? (4" §?)=^ К+§ №+и">] ¦ <3-9"
В это дифференциальное уравнение (3.9) входит величина Л, которая
представляет собой толщину слоя и является заданной функцией от
переменных х и г. Таким образом, в дифференциальном уравнении для
давления коэффициенты будут, как правило, не постоянными, а переменными.
Для определённости решения этого уравнения необходимо задать граничные
условия для давления по той, вообще говоря, замкнутой крйвой, которая
ограничивает рассматриваемый смазочный слой в плане на плоскости xOz.
Простейшим граничным условием будет условие, при котором давление
считается на этой кривой известным и постоянным, т. е.
f(x, у) - 0, = /?0 = const. (3.10)
§ 4. Сдавливание слоя параллельными плоскостями
Простейшим примером, в котором может быть использовано дифференциальное
уравнение (3.9) Рейнольдса для давления, служит
задача о сдавливании слоя параллельными плоскостями.
Пусть мы имеем две параллельные пластинки, имеющие в плане одну и ту же,
но произвольную форму (рис. 53). - Допустим, что между пластинками
находится какое-то вязкое вещество. Нижняя пластинка пусть будет
неподвижной, а верхняя пусть перемещается поступательно в направлении к
нижней; тогда находящееся между пластинками вязкое вещество будет
выдавливаться в стороны.
Х|ля применения к рассматриваемой задаче дифференциального уравнения
(3.9) необходимо: 1) считать толщину h не зависящей от координат х, z, 2)
положить LJ1 и ?/а равными нулю и 3) изменить
*4]
СДАВЛИВАНИЕ СЛОЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ
знак скорости У2 на обратный. В результате этих предположений получим для
давления следующее дифференциальное уравнение Пуассона:
д*р \ _ 12цУа
дхЪ~т~Ш~ ~W~' '
На контуре у, ограничивающем рассматриваемые пластинки в плоскости хОг,
давление необходимо считать постоянным, т. е.
на у Р = Р0• (4-2)
Сопоставляя постановку рассматриваемой задачи о сдавливании тонкого слоя
вязкого вещества с постановкой задачи о прямолинейнопараллельном течейии
вязкой несжимаемой жидкости, изложенной в § 1 главы IV, мы видим их
полное формальное сходство. Следовательно, й для решения задачи о
сдавливании слоя вязкого вещества в порядке аналогии можно привлекать те
методы, которые используются для решения задачи о вращении идеальной
жидкости и кручении' призматического бруса.
В качестве примера рассмотрим пластинки эллиптической формы. Уравнение
ограничивающего контура ^ будет, следовательно, представляться в виде
jy2 "2
? + 7г=1- <4'3)
Будем искать решение уравнения Пуасспна '%Л) в виде
где A ,t В - произвольные постоянные. Подставляя это выражение дХя
давления в уравнение (4.1), получим:
од (_! J 1Л - 12ц.у2
\ Д2 с2 ) - АЗ '
Используя граничное условие (4.2) и уравнение (4.3) контура, получим:
В = р0,
Таким образом, решение рассматриваемой задачи о сдавливании слоя вязкого
вещества эллиптическими пластинками будет представляться в виде
6цУ2 0,4* /*2 z2 \
Р-Ро- АЗ ¦ а2 + с2 1)- (4-4)
Полагая в этом решении
с = а, х2 -f - z2 - г2,
262
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[ГЛ. VI
получим решение задачи о сдавливании слоя вязкого вещества круговыми
Пластинками
р-р0 = ^1(а?-~г% (4.5)
На основании (4.5) заключаем, что давление в слое под круговой пластинкой
будет распределяться по параболическому закону.
Умножая левую и правую части (4.5) на площадь элементарного кольца 2тгг
dr и проводя интегрирование по всей площади круга, получим следующую
формулу для результирующего сопротивления сжатию круговой пластинкой слоя
вязкого вещества:
/*¦=•§¦ яр (4.6)
таким образом, сопротивление слоя вязкого вещества пропорционально
коэффициенту вязкости, скорости сжатия в первой степени,
радиусу пластинки в четвёртой степени и обратно пропорционально
кубу толщины слоя.
Допустим, что перемещение верхней горизонтальной пластинки происходит под
действием веса некоторого груза и веса самой пластинки. Обозначая общий
