Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
ференциальное уравнение
RdR № J ~ '
Решение этого уравнения представляется в виде
f=W + %- (8-9)
Для удовлетворения граничного условия (8.7) на бесконечности необходимо
положить:
Q = 0.
Используя граничное условие прилипания (8.6), получим:
Таким образом, решение рассматриваемой задачи о вращении шара в
неограниченной вязкой жидкости будет представляться в виде
<о a3 sin 0 ,0 1 _
т • (8.Ю)
Ha основании (6.9) главы 11 и предположений (8.2) и (8.3)
для каса-
тельных компонент напряжения будем иметь:
рш = о, р<рВ = !х(^-^-), р*= ¦y-pctge).
Подставляя значение из (8.10), получим:
Рт = 0> (Рчв)а = - 3p.(osin0, р^ = 0. (8.11)
Для вычисления результирующего момента сил сопротивления вращению шара в
вязкой жидкости необходимо выражение (8.11) для (р<?в)а умножить на
элемент поверхности a2 sin 6 db dy и на плечо относительно оси a sin 0 и
проинтегрировать по всей поверхности шара. В результате мы получим:
lz = J J (рчв)а a* sin2 0 db dy =
те
= -6тг[Х(о a3 J sin3 0 db =- 8тгр.(оа3. (8.12)
186 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
Таким образом, при решении задачи о вращении шара в неограниченной вязкой
жидкости на основе приближённых уравнений, без учёта квадратичных членов
инерции момент сил сопротивления вязкой жидкости пропорционален первой
степени угловой скорости вращения.
§ 9. Движение вязкой жидкости в коническом диффузоре
Рассмотрим движение вязкой жидкости в коническом диффузоре в
предположениях: 1) жидкость считается несжимаемой, 2) движение
предполагается установившимся и осесимметричным, 3) действием массовых
сил и квадратичными членами инерции можно пренебречь и 4) движение частиц
является строго радиальным, т. е.
" = <9Л>
При этих предположениях функция тока будет удовлетворять
дифференциальному уравнению Стокса
DDty = 0 (9.2)
и, кроме того, не будет зависеть от переменного R. Учитывая выра-
жение (7.2) оператора Стокса и независимость функции тока от R, получим:
* = ??(жгЗ)- <м>
Введём новое независимое переменное, полагая
cos 9 = т. (9.4)
Тогда из (9.2) и (9.3) получим:
1 _ т;2
ощ = i, 16 (1 -<') +(1 ¦) -Й- [(1 - <*> Щ \ = 0.
Таким образом, дифференциальное уравнение (9.2) будет представляться в
виде
^г[6'>+< 1-'5)3] = 0'
или
(i -,3) ^ + Ц = сх + С.2х. 9.5)
Легко видеть, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) с
правой частью представляется в виде
= "Ь С2 т) = А fit.
§9]
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ
187
Проверкой можно убедиться, что частное решение дифференциального
уравнения (9.5) без правой части будет иметь вид
4*1 = С(х - I3).
Для построения второго частного решения однородного уравнения положим:
.
: (т).
Тогда будем иметь:
2(1-Зт2)^+(т-т3)Ц = 0,
du
dx
du
dx
2d [In (z - t3)].
D
u =
a,
(x - x3)2 '
3x2-
1)1 + C8'
.X3)2 I " |_4 '"1 - X 1 2x(l-
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (9.5)
представится в виде
ф = Л + Дх + С(т - т2) +
+ D[|_(T_T3),nl±l
]. ("
Рис. 50.
Обозначим угол раствора конического диффузора 0о (рис. 50), а полный
расход через сечение - Q.
Граничные условия, выражающие прилипание частиц жидкости к стенкам и
заданную величину расхода, можно представить в виде:
1 ф = 0,
1 dty 1
при т при т
Vr-
^ = 0 /?2 dz V'
/?2 sin 0 db ~ во
Q = 2itfvB /?3 sin 6 db = 2u [ф(т0) -Ф(1)]
(9.7)
Производная от функции тока ф (9.6) по переменному т благодаря наличию
слагаемого с In (1-т) будет при т = 1 обращаться в бесконечность. Поэтому
для обеспечения регулярности радиальной скорости внутри конуса необходимо
положить:
D = 0.
188 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
Используя граничные условия (9.7), получим следующие уравнения для
определения постоянных:
Л + В = О,
В + С{\- 3ф = 0,
откуда
А + *.+ С(,,-ф = ^
с= Q 1
2п 1- +
Q 1- Зх2 Л = - В - -
= - --гЛгу- (9.8)
2л 1 - Зхд 2tjj
Таким образом, радиальная скорость движения частиц вязкой жидкости в
конусе будет представляться в виде
3 Q
W 1-Зт2 + 2^
Оператор Стокса от функции тока будет равен ", 1 - (Щ -
тЗ
^ - ~Ж~ ~ ~~ ~W~'
Первое дифференциальное уравнение (7.3) после использования подстановки
(9.4) примет вид
др (j. dD<\>
Подставляя значение Dty и выполняя интегрирование, получим следующее
выражение для давления:
(J.Q 1 - З-с2 /п
P~Po~^R* 1-ЗтЦ + 2** ' ( ' )
Будем считать угол 0О небольшим и воспользуемся разложением косинуса
т = cos 0 = 1 - 4" 024--Дг 04- ...
2 1 24
Тогда можно приближённо положить: т"-т""0;-02,
I §] ДВИЖЕНИЕ ВЙЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КОНИЧЕСкОМ ДИФФУЗОРЕ 189
Таким образом, при малых углах раствора конического диффузора радиальная
скорость и перепад давления будут представляться приближённо в виде
Сопоставляя эти формулы с формулами (5.6) и (5.9) главы III для движения
жидкости в цилиндрической трубе, мы видим, что правая часть первой
формулы (9.11) для скорости в точности совпадает с правой частью
соответственной формулы для скорости движения в цилиндрической трубе.
Коэффициент правой части выражения (9.11) для перепада давления
