Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
движение жидкости установившимся и не пренебрегали квадратичными членами
инерции. Умножая касательное напряжение (5.8) на элементарную площадку и
плечо, т. е. на множитель и интегрируя по <р, получим результирующий
момент от сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр
относительно его оси в виде
Проектируя компоненты напряжения (5.8) на направление х и
перпендикулярное к нему, умножая полученные проекции на элемент дуги adf
и интегрируя по <f, получим следующие выражения для компонент главного
вектора сил воздействия жидкости на рассматриваемый цилиндр:
Умножая второе равенство (5.10) на г и складывая с первым, получим:
Будем считать движение вязкой несжимаемой жидкости установившимся и
пренебрежём квадратичными членами инерции. Тогда, как показано в § 2,
функция тока будет удовлетворять бигармоиическому уравнению и для
давления и вихря будут иметь место следующие равенства:
Постоянное слагаемое в выражении давления опущено.
Используя последнее равенство (5.12) и учитывая, что на границе цилиндра
получим для вектора результирующего воздействия вязкой несжимаемой
жидкости на круглый цилиндр выражение в комплексной форме
Правая часть полученной формулы (5.13) совпадает с правой частью формулы
(2.13) для вектора результирующего воздействия вязкой несжимаемой
жидкости на произвольный замкнутый контур. Различие только в том, что
формула (2.13) установлена для поступательного движения произвольного
контура, тогда как формула (5.13) установлена для плоско-параллельного
движения, но не произвольного контура, а только круглого цилиндра.
L = - 4щха2& -|- 2р.й2 J (ш)0 Ф(.
(5.9)
Roo = /Przfl. dy = a J[ - (р)а cos "р - 2[х Нй sin ?] rfcp,
о о
(5.10)
0 О
2г.
(5.11)
о
/> = 2ц/[Ф' (г)-Ф' (г)], )
<о = -[Ф'(д) + Ф'(*)]. } р- 2ф.и> = 4ц1Ф' (г). J
(5.12)
г = aei'f, dz = ae^idf.
(5.13)
$5) ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ЙА ЦИЛИНДР 173
Так как на поверхности самого цилиндра мы будем иметь: zdz-\-dzz - 0, z
dz - - z dz = - л2/ dy, то формулу (5.9) для момента можно представить
также в виде
L - - 4тс[лл2й 2(л/ J" [гФ' (*) dz - гФ' (г) dz]
у
или
Z. = - 4я(л"2й -(- 2ц/ J {zd [Ф (г)] - zd [Ф (г)]}. (5.14)
т
Таким образом, результирующее воздействие вязкой несжимаемой жидкости на
круглый цилиндр при его плоско-параллельиом движении зависит только от
вида той функции Ф (г) комплексного переменного, через которую
представляются давление и вихрь при отбрасывании квадратичных членов
инерции.
В § 4 было показано, что при выполнении требования однозначности давления
и скоростей функция Ф (z) может иметь следующий вид:
Ф (z) = ф* (z) + (" + ф) In (z - z№), (5.15)
где Ф* (z) представляет однозначную и голоморфную функцию в той
области,
которая не включает в себя других возможных границ, кроме контура •'
рассматриваемого круглого цилиндра.
Так как на основании (5.15) будем иметь:
f (*)] = (* + /р) 2
т
то вектор результирующего воздействия жидкости на цилиндр из (5.13) будет
представляться в виде
+ iRy = 0 - /"). (5.16)
Проведём окружность с центром на оси рассматриваемого цилиндра и в
области, заключённой между этой окружностью и контуром цилиндра, разложим
функцию Ф* (г) в ряд Лорана
Ф* (*) = 2 ап*п- (5^17)
-оо
Полагая в (5.15) z0 = O, получим из (5.15) и (5.17):
±00
- СО
В этом ряде положим:
z = ае\
тогда будем иметь:
+ ОЭ
ф/ (ое<?) = <L±? -f 2 nanan~1eiin~1^'f.
- СО
+oo
174 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
Следовательно, вихрь на границе рассматриваемого цилиндра будет
представляться в виде следующего ряда:
+оо
Па = - - ((r) cos ? + р sin ч>) - 2
па
[апе'
+ апе
- i (" -1) <f
. (5.18)
Умножая обе части равенства (5.18) на d<f, интегрируя по углу ч> от О до
2п и подставляя результат в формулу (5.9), получим для результирующего
момента L следующую формулу:
¦ 4т:|ая2 [Q -j- + аг].
(5.19)
Таким образом, результирующий момент сил воздействия вязкой несжимаемой
жидкости на круглый цилиндр зависит только от коэффициента того
слагаемого в ряде Лорана (5.17), которое содержит комплексное переменное
z в первой степени.
На основании формул (5.16) и (5,19) мы приходим к выводу, что для
определения результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на
круглый цилиндр при его плрско-параллельном движении при отбрасывании
квадратичных членов инерции надо:
1) после решения бигармонического уравнения для функции тока скорость
представить в комплексной форме
а + iv = -1 [Ф (С) + №' (С) + х' (01. (5.20)
где ? представляет комплексное переменное, начало которого может и не
совпадать с началом комплексного переменного z\
2) входящую в (5.20) функцию Ф (i) представить в виде
+оо
Ф {г) = (а + /Р) In z + 2 ап*п'>
3) значения коэффициентов ¦ ",. (5, и подставить .в формулы (5.16) н
(5.19)
§ 6. Движение жидкости в плоском диффузоре
Плоско-параллельное радиальное движение вязкой жидкости было рассмотрено
нами в § 10 главы IV без отбрасывания квадратичных членов инерции. Теперь
