Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
тогда как слагаемое с давлением будет зависеть от переменных х и t, а это
возможно только в том
р = const,
действием массовых сил будем пренебрегать
F= О
•и = 0, w = 0.
(1.2)
170 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
простирается до бесконечности. Отказ хотя бы от одного из этих
предположений приводит к ликвидации парадокса Стокса, т. е. к возможности
решения соответственной плоской задачи. Так, например, отказ от
предположения стационарности движения самой жидкости при сохранении двух
других предположений позволил Бассе *) и Озеену 2) построить решение
задачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости при разных
начальных условиях. При частичном учёте квадратичных членов инерции по
методу Озеена и при сохранении первого и третьего предположений Ламб 3)
построил решение той же задачи о движении круглого цилиндра в
безграничной жидкости. При отказе от третьего предположения область,
занятая жидкостью, перестаёт быть односвязной. Возможность решения задачи
о движении круглого цилиндра в ограниченной области при сохранении двух
первых предположений была показана в ряде случаев. Один из простейших
случаев рассмотрен выше, в § 3, другой случай-движение цилиндра между
параллельными стенками - подробно исследован в работе Бэрстоу 4), а
третий случай - поступательное движение шипа в подшипнике - рассмотрен в
работе М. В. Коров-чинского Б).
Таким образом, на основании бигармонического уравнения для функции тока
можно решать следующие задачи: 1) о вращении плоского контура в
неограниченной жидкости, 2) внутренние задачи о течениях в односвязной
области и 3) задачи о поступательном движении плоского контура в
ограниченной области. Для этих задач и могут быть использованы методы
теории функций комплексного переменного.
§ 5. Общие формулы для результирующего воздействия жидкости на круглый
цилиндр
Установим - общие формулы для результирующего воздействия вязкой
несжимаемой жидкости при установившемся её движении на бесконечно длинный
круглый цилиндр, имеющий поступательное движение и вращательное вокруг
своей оси. Относительно вида и расположения других возможных границ
жидкости никаких предположений делать пока не будем.
Вектор скорости центра сечения цилиндра плоскостью, параллельной
плоскости движения жидкости, обозначим через U, а угловую скорость
вращения - через а. В рассматриваемый момент времени t выберем полярную
ось Ох в направлении вектора скорости U и полярный угол <f будем
отсчитывать против хода часовой стрелки (рис. 44). В полярных координатах
граничные условия прилипания частиц жидкости к поверхности
рассматриваемого цилиндра будут представляться в виде:
при г = a vr = U cos tp, v9 = - U sin <f Qa. (5.1)
Так как равенства (5.1) будут выполняться при любом значении угла f и
1) Basset, A treatise Hydrodynamics, т. И.
2) Oseen, Hydrodynamik, Leipzig, 1927.
3) Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947, стр. 772.
4) Bairs tow, Proc. Roy. Soc. сер. А, т. С, стр. 394, 1922.
Б) КоровчинскийМ. В., Тренце и износ в машинах, сб. VI, АН СССР, 1951,
б] ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ЦИЛИНДР 17 1
при неизменном значении полярного радиуса, то их можно дифференцировать
частным образом по ?, после чего будем иметь:
(dvr \ дг
j = - (/ sin ?, = - U cos ?.
(5.2)
Уравнение несжимаемости жидкости (6.6) главы II в полярных координатах
представляется в виде
dvr vr . 1 dVe
дг
'гг
'г
ду
= 0.
(5.3)
Применяя уравнение несжимаемости (5.3) к частицам, непосредственно
примыкающим к поверхности цилиндра, получим:
(?).+*?+;(?)¦-*
(I Q
Используя условие (5.1) и вытекающие из него равенства (5.2), будем
иметь:
(&) ""•
' 'а
(5.4)
Смысл равенства (5.4) заключается в том, что радиальная скорость
деформации частиц вязкой несжимаемой жидкости, примыкающих к самой
поверхности цилиндра, равна нулю. Компоненты вектора-вихря на основании
(8.10) главы I будут представляться в виде
. = 0, = 0,
дуа
1 dvr'
дг
г дг
(5.5)
Используя равенства (5.1), (5.2) и (5.5) для значения вихря на границе
цилиндра, получим:
2(">o = (tf) +Q- (5'6)
а
Компоненты напряжений в полярных, координатах при плоско-параллельном
движении вязкой несжимаемой жидкости на основании (6.5) главы II
представляются в виде
dvr (1 dvr дУу у<р \
ргг = -р+^-^г • +"ЗГ ?)'
дг
( Vr 1 dVq \ Рп=-Р + ^ +
(5.7)
Если мы теперь возьмём элементарную площадку на поверхности самого
цилиндра и используем равенства (5.1), (5.2), (5.4), (5.6) и (5.7), то
для нормальной и касательной компонент получим следующие выражения:
(.Ргг)а - (Р)а<
(Рг,р)а = 2И(ш)<
1
¦а-В]- /
(5.8)
Таким образом, результирующее воздействие вязкой несжимаемой ЖиДКостк на
бесконечно длинный круглый цилиндр при его плоско-параллельном движении
зависит от распределения давления й вихря вдоль поверхностй-Самого
172 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
цилиндра. Заметим, что при выводе равенств (5.8) мы не предполагали
