Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
0 значения 16 величин:
gap, gap, 4, Tl4, (5.98)
помня, однако, что их следует выбрать так, чтобы удовлетворялись условия
(5.94), которые в силу (1.219) можно записать в следующем виде: для х* =
0
^,a D ga0' 4 + 2Y.Tа4 - 0,
П-1А> + ±В + 2кТи = 0,1
(5.99)
где R - скалярная кривизна гиперповерхности х4 = 0, а
В - gtlVg°ag(io, 4 gva, 4- (5.100)
Поскольку (5.95) и (5.97) вполне определенным образом задают значения
производных от данных Коши
gap, 44, Т{4i4 (5.101)
через сами данные Коши, то, как известно, решение в окрестности х4 = 0
существует при условии, что данные Коши удовлетворяют условиям (5.99);
это обстоятельство с физической точки зрения представляется наиболее
важным так как физическое требование положительной определенности энергии
(4.146а), т. е.
7и > 0, (5.102)
§ 5. Проблема Коши в нормальных гауссовых координатах
187
связано с условиями (5.99). Если условия (5.99) удовлетворены, то решение
имеет вид
gap = (gap)o + (gap, 4)0 + \ (gap. 4")0 + • • • , . ...
г' (5.103)
^4; = (7'4j)o + ^4(7'4j,4)o+ • • ¦ >
где коэффициентами будут либо данные Коши, либо величины, выраженные
через данные Коши с помощью (5.95) и (5.97). Если бы понадобилось
вычислить более высокие члены разложения, мы могли бы выразить их через
данные Коши, дифференцируя (5.95) и (5.97) и подставляя в полученные
выражения величины, определенные из самих уравнений. Следует отдавать
себе ясный отчет в том, что способ разграничения входящих в теорию
величин на (5.83) и (5.84) представляет собой не более, чем
математический прием, не имеющий физической мотивировки. Приведенные
здесь рассуждения применимы к любому полю Эйнштейна, т. е. к любому
набору 20 вели-чин gi;> T'i;. коль скоро они удовлетворяют уравнениям
поля (5.80) и, разумеется, условиям гладкости (не обсудив которых мы еще
не можем считать анализ исчерпывающим; обсуждение их лучше всего провести
на примере тех специальных случаев, когда имеет место нарушение
гладкости, т. е. нарушение самих этих условий). Приведенное выше
рассмотрение проблемы Коши применимо, в частности, к полям в вакууме, для
которых уравнения поля имеют вид
Сц = 0. (5.104)
В этом случае необходимо просто исключить из рассмотрения члены Т-,.
Таким образом, в нормальных гауссовых координатах уравнение (5.95)
принимает вид
gap,44 = 2^ap -y/lgap. 4+g|1Vgan, 4gPv, 4- (5.105)
Данными Коши теперь оказываются gap и gap, 4 на гиперповерхности
х* = 0. Эти данные должны удовлетворять уравнениям (5.99) при Ti; = 0.
Если положить
фар = gap, 4 ДЛЯ Х* = 0, (5.106)
то условия совместности (5.99) можно записать в виде
^lla^llp-
(5.107)
(ф&)*-Фрф?=4?.
Эти условия имеют вид уравнений в трехмерном подпространстве х* = 0, так
что число независимых переменных равно трем (х"); метрическим тензором
оказывается gap, а поднятие индексов производится с помощью g0#. Две
параллельные черточки в формуле (5.107) означают ковариантное
дифференцирование, в процессе которого используются символы Кристоффеля
rpv = gct0[PY. Q]- (5-108)
Уравнения (5.107) следует считать исключительно важными, так как на них
строится общая теория гравитационных волн (см. гл. IX). Как только они
разрешены относительно 12 величин gap, фар, поле в окрестности х* = 0
полностью определяется из уравнений (5.105). Но вряд ли можно говорить о
решении у равнений (5.107), так как последние существенно недо-
определены: мы имеем всего 4 уравнения для 12 неизвестных. Создается
впечатление, что удовлетворить этим уравнениям не составляет никакого
труда, но на самом деле это далеко не так.
188
Гл. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
Существуют два способа коренного упрощения условий непрерывности (5.107).
Первое, что можно сделать1), это положить фар= 0, так чтобы оставалось
удовлетворить только условию R = 0. Если g'aр-добавочная метрика в
подпространстве х4 = 0, конформно связанная с gap соотношением2) gap -
ф*gap> то условие совместности примет вид
Д'ф + |-Я'ф = 0, (5.109)
где А' - тензорный оператор Лапласа, а R' - скалярный инвариант, причем и
тот и другой вычислены для метрического тензора g'aр.
Второй способ состоит в следующем. Допустим, что подпространство х* = 0
имеет плоскую внутреннюю геометрию, так что R = 0, и можно пользоваться
прямоугольными декартовыми координатами хР. Условия непрерывности (5.107)
теперь примут вид
Фрр, a - Фар, р" (Фрр)2 = фарфар- (5.110)
Недоопределенность все еще имеет место: 4 уравнения для 6 неизвестных. Но
если теперь потребовать, чтобы фар имел вид фар= "а"р. где иа- некоторое
векторное поле, то недоопределенность исчезает, ибо последнее уравнение в
(5.110) удовлетворяется тождественно, и остаются три следующих уравнения
для иа:
(ИрИр)>а = "а"р,Р + Иа,рИр. (5.111)
Поскольку теперь мы работаем в трехмерном евклидовом пространстве, очень
результативным оказывается гидродинамический подход к этим уравнениям,
при котором иа рассматривается как скорость жидкости в установившемся
движении; при этом есть квадрат скорости, а иарир-ускорение. Уравнения
