Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно,
П = (?44г (Г^ар + 2U7J). (5.75)
Теперь (5.69) можно записать в виде
"7] = c;apU7Jp + С}аЩа + C}W*tt. (5.76)
После подстановки сюда (5.72) и (5.75) получим выражение вида (5.67), и,
таким образом, лемма будет установлена. Необходимость в требовании g44 Ф
0 очевидным образом следует из (5.72) и (5.75).
Лемма 2. Пусть S4 область пространства -времени с g44 Ф 0 и пусть S3 -
трехмерное подпространство, определяемое уравнением х* = 0. Тогда три
следующих утверждения математически эквивалентны:
(A) H7i3. = 0 в S4.
(Б) Н^р = 0 и Й75 = 0 в S4.
(B) И7*р = 0 и И7}" = 0 в S4 при 1Г'4 = 0 в Sa.
Переходя к доказательству этой леммы, прежде всего заметим,
что,
очевидно, (А)=^(Б). В силу леммы 1 (Б)=>(А). Следовательно, (А) и (Б)
эквивалентны. Совершенно очевидно, что (Б) =ф (В). Остается доказать, что
(В)=>(Б).
Предположим, что выполняется (В). Тогда в силу леммы 1 и первого условия
в (В),
W) = B?Wl (5.77)
В силу второго условия в, (В) имеем
W'v = W)i4 + Wl e + - ГуИ7" = 0. (5.78)
С помощью (5.77) это можно записать в виде
= + (5-79)
где коэффиценты Е)а и F* - функции метрического тензора и его
производных. Ввиду последнего условия в (В) основная теорема для
дифференциальных уравнений в частных производных гласит, что W* = 0 не
только в S3, но и в S4. Итак, (В)=Ф(Б) и лемма доказана.
§ 5. Проблема Коши в нормальных гауссовых координатах
Лишь в очень редких случаях можно надеяться получить решения уравнений
поля, которые были бы точными, полностью определенными и имели физический
смысл1). Поэтому мы вынуждены прибегать к отысканию решений с помощью
разложения в ряды по степеням одной из координат (х4), что тесно связано
с теоремами о существовании решений, когда начальные данные определены на
гиперповерхности х* = 0. В связи с этим мы приходим к проблеме Коши
(Лишнеровиц [671], Фам Мау Кан [910, 913], Фурэ-Брюа [355-359]).
1) Этот пессимистический прогноз нельзя считать состоятельным. Методы
теории групп в общей теории относительности (Петров [903], гл. IV, VI,
VIII) дают многочисленные классы точных формальных решений, которые
допускают наложение некоторых физических условий. - Прим. ред.
§ 5. Проблема КЬши в нормальных гауссовых координатах
185
Уравнения поля
Gy= -xTij, (5.80)
где
х = 8я,
представляют собой систему 10 уравнений с 20 неизвестными gijt Ти.
Уравнения сохранения
Т% = 0 (5.81)
не независимы, а вытекают из (5.80). Чтобы математическую задачу сделать
определенной, 10 из 20 величин нужно задать во всем пространстве-
времени, тогда другие 10 величин можно найти, решая уравнения (5.80). В
гл. IV; § 6 мы обсуждали g- и Г-методы. В первом из них задаются gijy а
Г{;- вычисляются просто с помощью дифференцирования; однако вполне
вероятно, что на этом пути могут получиться отрицательные плотности, а
также рас; тяжения в точках, где из физических соображений были бы
предпочтительнее сжатия. Г-метод обещает больший успех. Но с точки зрения
проблемы Коши оказывается наиболее целесообразным объединить оба
эти метода.
В нижеследующем анализе проблемы Коши по существу будет сделано
сле-
дующее: мы используем нормальные гауссовы координаты, так что, как и в
(1.213),
ga 4 = 0, g44=- 1, (5.82)
если считать параметрические линии х* временноподобными и задать Тар во
всем пространстве - времени. Таким образом, 10 величин заданы, а для
нахождения других 10 Величи^ (gap, Ti4) необходимо решить 10 уравнений
(5.80). Такой выбор подсказан структурой системы дифференциальных
уравнений, если взглянуть на нее с точки зрения проблемы Коши, помня, что
начальйые данные взяты на гиперповерхности х1 = 0. Дадим для ясности
следующую классификацию величин.
Величины, заданные в пространстве -времени:
?i4> Т а$. (5.83)
Неизвестные:
ga$i Тit. (5.84)
Определим с помощью соотношения1)
U^G^+хГ,,, (5.85)
Тогда, как и в (5.65), для сопряженного тензора имеем
п-=я"+*п-, (5-86)
где
П = ти-^?иТ' Т = {?ЬТаЪ, (5.87)
так как
G*j = Rij, (5.88)
Уравнения поля (5.80) теперь гласят:
№.. = 0. (5.89)
Замечая, что в силу (5.82)
ga 4 = 0, 1, (5.90)
*) Последующие общие рассуждения можно было бы провести и с учетом
космологической константы А [см. (4.108)]; в этом случае мы записали бы
-Gij Agjj-]- хТ^у.
186
Гл. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
обратимся к лемме II в § 4. Она утверждает, что уравнения (5.89)
эквивалентны следующим:
№ар = 0, wj|i = 0, (5.91)
при условии, что
wi = 0 для х* = 0. (5.92)
Это эквивалентно уравнениям
+ 7^ = 0,. (5.93)
с условиями совместности
Gu + kTu = 0 для х* = 0. (5.94)
Приступая к рассмотрению проблемы Коши для системы (5.93), заметим, что
с помощью (1.217) при е= - 1 первое уравнение
(5.93) можно
записать в форме
gap, 44 = 2/?ap - Y-dgap, 4 + g>1Vgc4i, 4gpv, 4 + 2xT?p, (5.95)
где Rap - трехмерный тензор Риччи для гиперповерхности х4 = 0, а
(5.96)
тогда как второе уравнение (5.93) дает
Ttf, 4= -n* = Т1 a + T^Tf - . (5.97)
Зададим теперь в качестве начальных данных Коши на гиперповерхности х4 =
